MathQuest — Maths pour l'ingénieur

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Pourquoi apprendre ça ?

Partout autour de nous, des phénomènes se répètent : le battement du cœur, la tension du secteur électrique (50 Hz en France), les ondes radio, le son d'une note de musique. Tous ces phénomènes sont des signaux périodiques. Comprendre leur description mathématique — puissance, valeur efficace, décomposition en harmoniques — est indispensable avant d'aborder l'analyse de Fourier, le traitement du signal et les systèmes de communication.

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Analogie

Un signal périodique, c'est comme une chanson en boucle : après un certain temps (la période), tout recommence à l'identique. La valeur efficace mesure l'effet énergétique moyen du signal — comme la vitesse effective d'une voiture qui oscille entre 0 et 120 km/h n'est pas 60 km/h mais la racine de la moyenne des carrés. Et un signal carré, bien que brutal en apparence, cache une infinité de sinusoïdes dont les amplitudes décroissent harmonieusement en $1/n$ .

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Théorie

Un signal $x(t)$ est dit périodique de période $T > 0$ si $x(t + T) = x(t)$ pour tout $t$ .

Grandeurs associées :

Fréquence : $f = \dfrac{1}{T}$ (Hz)
Pulsation : $\omega = 2\pi f = \dfrac{2\pi}{T}$ (rad/s)
Valeur moyenne : $\langle x \rangle = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T x(t)\,dt$

Valeur efficace (RMS — Root Mean Square) : $X_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T x^2(t)\,dt}$

Puissance moyenne dissipée dans une résistance $R$ : $P = \frac{X_{\mathrm{rms}}^2}{R} = \frac{1}{T}\int_0^T \frac{x^2(t)}{R}\,dt$

Pour un signal sinusoïdal $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$ : $X_{\mathrm{rms}} = \frac{A}{\sqrt{2}} \qquad P = \frac{A^2}{2R}$

Théorème de Parseval — la puissance totale est la somme des puissances harmoniques : $X_{\mathrm{rms}}^2 = a_0^2 + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n^2 + b_n^2)$

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Identifier les grandeurs d'un signal sinusoïdal

Soit $x(t) = 5\cos(100\pi t + \pi/3)$ (tension en volts, $t$ en secondes).

Amplitude : $A = 5$ V, Pulsation : $\omega = 100\pi$ rad/s
Fréquence : $f = 50$ Hz — réseau électrique français, Période : $T = 20$ ms
Valeur efficace : $X_{\mathrm{rms}} = \dfrac{5}{\sqrt{2}} \approx 3{,}54$ V
Puissance sur $R = 50\ \Omega$ : $P = \dfrac{X_{\mathrm{rms}}^2}{R} = \dfrac{25/2}{50} = 0{,}25$ W

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Checkpoint

Un signal périodique a une fréquence de 200 Hz. Quelle est sa période et sa pulsation ?

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Théorie

Tout signal périodique de période $T$ se décompose en série de Fourier : $x(t) = a_0 + \sum_{n=1}^{+\infty}\bigl[a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0 t)\bigr]$

avec $\omega_0 = 2\pi/T$ . Coefficients : $a_0 = \frac{1}{T}\int_0^T x(t)\,dt \qquad a_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\cos(n\omega_0 t)\,dt \qquad b_n = \frac{2}{T}\int_0^T x(t)\sin(n\omega_0 t)\,dt$

Composantes du signal réel :

Composante continue (DC) : $a_0$ = valeur moyenne
Fondamental : amplitude $C_1 = \sqrt{a_1^2+b_1^2}$ à la fréquence $f_0$
Harmoniques de rang $n$ : amplitude $C_n = \sqrt{a_n^2+b_n^2}$ à la fréquence $nf_0$

Symétries utiles :

Signal pair ( $x(-t) = x(t)$ ) : $b_n = 0$ (que des cosinus)
Signal impair ( $x(-t) = -x(t)$ ) : $a_0 = a_n = 0$ (que des sinus)
Demi-onde alternée ( $x(t+T/2) = -x(t)$ ) : seuls les harmoniques impairs sont non nuls

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Signal carré et ses harmoniques

Le signal carré de période $T$ , d'amplitude $A$ , centré en zéro : $x(t) = +A \text{ sur } [0,T/2[, \quad -A \text{ sur } [T/2,T[$

Ce signal est impair et à demi-onde alternée : $a_0 = 0$ , $a_n = 0$ , seuls les $b_n$ impairs sont non nuls.

$b_n = \begin{cases} \dfrac{4A}{n\pi} & n \text{ impair} \\ 0 & n \text{ pair} \end{cases}$

Décomposition : $x(t) = \frac{4A}{\pi}\!\left(\sin\omega_0 t + \frac{1}{3}\sin 3\omega_0 t + \frac{1}{5}\sin 5\omega_0 t + \cdots\right)$

Les amplitudes des harmoniques décroissent en $1/n$ : le fondamental domine, les harmoniques élevés contribuent de moins en moins.

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Valeur efficace d'un signal carré

Pour le signal carré d'amplitude $A$ : $X_{\mathrm{rms}} = \sqrt{\frac{1}{T}\int_0^T x^2(t)\,dt} = \sqrt{\frac{A^2 \cdot T/2 + A^2 \cdot T/2}{T}} = \sqrt{A^2} = A$

Le signal carré a une valeur efficace $A$ , contre $A/\sqrt{2}$ pour le sinusoïdal — il est plus énergétique à amplitude égale, car il n'oscille pas entre $0$ et $A$ mais entre $-A$ et $+A$ avec des durées égales.

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Pulsation ≠ fréquence

Confondre $f$ (en Hz) et $\omega$ (en rad/s) est l'erreur la plus courante. $\omega = 2\pi f$ . Un signal à 50 Hz a $\omega \approx 314$ rad/s — pas 50 rad/s. Dans les formules de Fourier, vérifier toujours quelle grandeur est utilisée avant de substituer.

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Checkpoint

La valeur efficace de est :

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Checkpoint

Dans la décomposition de Fourier du signal carré d'amplitude , l'amplitude du 3ème harmonique () est :

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Checkpoint

La puissance moyenne de dissipée dans est :

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Théorie

Le signal triangulaire de période $T$ , d'amplitude $A$ , centré, est impair et à demi-onde alternée :

$x(t) = \frac{8A}{\pi^2}\!\left(\sin\omega_0 t - \frac{1}{9}\sin 3\omega_0 t + \frac{1}{25}\sin 5\omega_0 t - \cdots\right)$

Les amplitudes décroissent en $1/n^2$ (bien plus vite qu'en $1/n$ pour le carré) : le triangulaire est donc moins riche en harmoniques que le carré.

Sa valeur efficace vaut : $X_{\mathrm{rms}} = \frac{A}{\sqrt{3}}$

Taux de Distorsion Harmonique (THD) — mesure l'écart par rapport à une sinusoïde pure : $\mathrm{THD} = \frac{\sqrt{\sum_{n=2}^{+\infty} C_n^2}}{C_1} \times 100\,\%$

où $C_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}$ est l'amplitude du $n$ -ème harmonique. Un signal sinusoïdal pur a THD = 0 %. Un signal carré idéal a THD ≈ 48 %, le triangulaire ≈ 12 %.

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Comparer les richesses spectrales

| Signal | Décroissance des $C_n$ | THD approximatif | $X_{\mathrm{rms}}$ | |--------|----------------------|------------------|--------------------| | Sinusoïdal $A\cos$ | — (un seul terme) | 0 % | $A/\sqrt{2}$ | | Triangulaire | $\propto 1/n^2$ | ≈ 12 % | $A/\sqrt{3}$ | | Carré | $\propto 1/n$ | ≈ 48 % | $A$ |

Application électronique : les convertisseurs de puissance produisent un signal carré ; des filtres passe-bas éliminent les harmoniques élevés pour reconstituer une sinusoïde propre. Plus les harmoniques décroissent vite, moins le filtrage est coûteux.

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Phénomène de Gibbs

La série de Fourier d'un signal présentant une discontinuité (comme le carré) converge vers la demi-somme des limites à gauche et à droite au point de saut, et exhibe un dépassement de ≈ 9 % de l'amplitude quelle que soit la troncature. Ce dépassement ne disparaît pas en ajoutant davantage d'harmoniques — il se déplace vers le saut, mais sa hauteur reste constante.

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Checkpoint

Pour un signal triangulaire d'amplitude V, quelle est sa valeur efficace ?

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À retenir

Période, fréquence, pulsation : $T = 1/f$ , $\omega = 2\pi f$ — ne jamais les confondre
Valeur efficace : $X_\mathrm{rms} = A/\sqrt{2}$ (sinusoïdal), $A$ (carré), $A/\sqrt{3}$ (triangulaire)
Puissance : $P = X_\mathrm{rms}^2/R$ — calculer via la RMS, pas l'amplitude
Série de Fourier : $a_0$ = DC, fondamental à $f_0$ , harmoniques à $nf_0$ ; signal pair → $b_n = 0$ ; signal impair → $a_n = 0$
Signal carré : harmoniques impairs en $4A/(n\pi)$ , THD ≈ 48 %
Signal triangulaire : harmoniques impairs en $8A/(n^2\pi^2)$ , décroissance en $1/n^2$ , THD ≈ 12 %
Parseval : $X_\mathrm{rms}^2 = a_0^2 + \tfrac{1}{2}\sum C_n^2$ — la puissance totale est la somme des puissances harmoniques

Signaux périodiques

Définition, grandeurs caractéristiques et puissance

Décomposition d'un signal réel en composantes

Signal triangulaire et taux de distorsion harmonique