Transformée de Fourier

La transformée de Fourier d'une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$ est : $\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\{f\}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t)\,e^{-2\pi i \xi t}\,dt$

Transformée inverse : $f(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{f}(\xi)\,e^{2\pi i \xi t}\,d\xi$

Paires de transformées usuelles :

| $f(t)$ | $\hat{f}(\xi)$ | |---|---| | $\mathrm{rect}(t/2a)$ | $2a\,\mathrm{sinc}(2\xi a)$ | | $e^{-a|t|}$ ($a>0$) | $\dfrac{2a}{a^2 + 4\pi^2\xi^2}$ | | $e^{-\pi t^2}$ (gaussienne) | $e^{-\pi\xi^2}$ | | $\delta(t)$ (Dirac) | $1$ (spectre plat) | | $1$ | $\delta(\xi)$ | | $e^{2\pi i f_0 t}$ | $\delta(\xi - f_0)$ |

Tableau des propriétés de la TF :

| Propriété | Domaine temporel | Domaine fréquentiel | |---|---|---| | Linéarité | $\alpha f + \beta g$ | $\alpha\hat{f} + \beta\hat{g}$ | | Décalage temporel | $f(t - t_0)$ | $e^{-2\pi i\xi t_0}\hat{f}(\xi)$ | | Décalage fréquentiel | $e^{2\pi i\xi_0 t}f(t)$ | $\hat{f}(\xi - \xi_0)$ | | Changement d'échelle | $f(at)$ | $\frac{1}{|a|}\hat{f}(\xi/a)$ | | Dualité | $\hat{f}(t)$ | $f(-\xi)$ | | Dérivation | $f'(t)$ | $2\pi i\xi\,\hat{f}(\xi)$ | | Convolution | $(f * g)(t)$ | $\hat{f}(\xi)\cdot\hat{g}(\xi)$ | | Multiplication | $f(t)\cdot g(t)$ | $(\hat{f} * \hat{g})(\xi)$ |

La propriété de convolution est centrale : la convolution dans le temps est une multiplication en fréquence, et réciproquement.

La convolution de deux signaux est : $(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau$

Théorème de convolution : $\mathcal{F}\{f * g\} = \hat{f}\cdot\hat{g}$ et $\mathcal{F}\{f\cdot g\} = \hat{f} * \hat{g}$

Un filtre LTI (linéaire invariant dans le temps) de réponse impulsionnelle $h(t)$ donne en sortie : $y(t) = (f * h)(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} \hat{y}(\xi) = \hat{f}(\xi)\cdot\hat{h}(\xi)$

Le filtrage, opération complexe en temps, devient une simple multiplication en fréquence.

Filtre passe-bas idéal : $\hat{h}(\xi) = \mathrm{rect}(\xi/2\xi_c)$ coupe toutes les fréquences $> \xi_c$. Sa réponse impulsionnelle $h(t) = 2\xi_c\,\mathrm{sinc}(2\xi_c t)$ est non causale — donc non réalisable physiquement tel quel.

En pratique, les signaux sont discrets (échantillonnés). La Transformée de Fourier Discrète (TFD) d'une séquence $\{x_0, \ldots, x_{N-1}\}$ est : $X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n\,e^{-2\pi i kn/N} \quad k = 0, \ldots, N-1$

$X_k$ est l'amplitude à la fréquence $k\cdot f_e/N$ (résolution fréquentielle $\Delta f = f_e/N$).

FFT (Fast Fourier Transform) : algorithme de calcul de la TFD en $O(N\log N)$ au lieu de $O(N^2)$. Pour $N = 1024$ : gain d'un facteur $\approx 100$.

Théorème de Shannon-Nyquist : pour éviter l'aliasing, la fréquence d'échantillonnage doit vérifier $f_e > 2f_{\max}$.

La TFD suppose le signal périodique de période $N$ — des artefacts apparaissent aux bords si ce n'est pas le cas (fenêtrage nécessaire).

Paires de transformées de Fourier importantes :

| Signal $f(t)$ | Transformée $\hat{f}(\xi)$ | Interprétation | |---|---|---| | $\mathrm{rect}(t/2a)$ (porte de largeur $2a$) | $2a\,\mathrm{sinc}(2a\xi)$ | Porte large → sinc étroit | | $\delta(t)$ (Dirac) | $1$ | Spectre plat — toutes les fréquences | | $1$ (constante) | $\delta(\xi)$ | Énergie concentrée à $\xi = 0$ | | $e^{-\pi t^2}$ (gaussienne) | $e^{-\pi\xi^2}$ | La gaussienne est sa propre TF | | $e^{2\pi i f_0 t}$ | $\delta(\xi - f_0)$ | Raie spectrale à $f_0$ |

Dualité temps-fréquence : si $\mathcal{F}\{f\} = \hat{f}$, alors $\mathcal{F}\{\hat{f}(t)\}(\xi) = f(-\xi)$.

Principe d'incertitude de Heisenberg : un signal ne peut pas être simultanément très localisé en temps ET en fréquence : $\sigma_t \cdot \sigma_\xi \geq \frac{1}{4\pi}$ La gaussienne atteint l'égalité — elle est le signal optimal au sens de la concentration temps-fréquence.

Algorithme FFT (Cooley-Tukey) : la TFD naïve coûte $O(N^2)$ opérations. La FFT exploite la symétrie des racines de l'unité $\omega_N = e^{-2\pi i/N}$ pour décomposer récursivement :

$X_k = \underbrace{\sum_{n=0}^{N/2-1} x_{2n}\,\omega_{N/2}^{nk}}_{E_k\text{ (indices pairs)}} + \omega_N^k \underbrace{\sum_{n=0}^{N/2-1} x_{2n+1}\,\omega_{N/2}^{nk}}_{O_k\text{ (indices impairs)}}$

Cette décomposition "papillon" divise le problème en deux sous-TFD de taille $N/2$, donnant la récurrence $T(N) = 2T(N/2) + O(N)$ dont la solution est $O(N\log_2 N)$.

Pipeline de filtrage numérique par FFT :

1. $X = \mathrm{FFT}(x)$ — passer dans le domaine fréquentiel
2. $Y_k = X_k \cdot H_k$ — multiplication terme à terme par la réponse fréquentielle du filtre
3. $y = \mathrm{IFFT}(Y)$ — revenir au domaine temporel

Fenêtrage : la TFD suppose le signal périodique sur la fenêtre. Des discontinuités aux bords créent des fuites spectrales. Multiplier par une fenêtre (Hann, Hamming, Blackman) avant la FFT atténue ces artefacts.