Séries de Fourier

Une fonction $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est $T$-périodique si $f(t+T) = f(t)$ pour tout $t$.

La fréquence fondamentale est $f_0 = 1/T$, et la pulsation fondamentale est $\omega_0 = 2\pi/T$.

Conditions de Dirichlet (suffisantes pour que la série converge) :

1. $f$ est bornée sur $[0, T]$
2. $f$ n'a qu'un nombre fini de discontinuités sur $[0, T]$
3. $f$ n'a qu'un nombre fini d'extrema locaux sur $[0, T]$

En pratique, toutes les fonctions physiques raisonnables vérifient ces conditions.

La série de Fourier de $f$ (de période $T$) est :

$f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_n \cos\!\left(\frac{2\pi n}{T}t\right) + b_n \sin\!\left(\frac{2\pi n}{T}t\right)\right]$

Les coefficients de Fourier sont :

$a_0 = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\,dt \quad (\text{valeur moyenne})$

$a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos\!\left(\frac{2\pi n}{T}t\right)dt, \quad n \geq 1$

$b_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\sin\!\left(\frac{2\pi n}{T}t\right)dt, \quad n \geq 1$

Forme complexe : $f(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n e^{i2\pi nt/T}$ avec $c_n = \frac{1}{T}\int_0^T f(t)e^{-i2\pi nt/T}dt$.

Le calcul des coefficients repose sur l'orthogonalité des fonctions trigonométriques. Pour $m, n \geq 1$ entiers :

$\int_0^T \cos\!\left(\frac{2\pi m t}{T}\right)\cos\!\left(\frac{2\pi n t}{T}\right)dt = \begin{cases} T/2 & \text{si } m = n \\ 0 & \text{si } m \neq n \end{cases}$

et de même pour les sinus. Les produits croisés sinus-cosinus sont toujours nuls.

Méthode de calcul de $a_n$ : multiplier les deux membres de la série par $\cos(2\pi n t / T)$ et intégrer sur $[0, T]$. Grâce à l'orthogonalité, tous les termes sauf le $n$-ième s'annulent, et il reste :

$\int_0^T f(t)\cos\!\left(\frac{2\pi n t}{T}\right)dt = a_n \cdot \frac{T}{2} \quad \Rightarrow \quad a_n = \frac{2}{T}\int_0^T f(t)\cos\!\left(\frac{2\pi n t}{T}\right)dt$

Exploitation des symétries :

• Si $f$ est paire ($f(-t)=f(t)$) : $b_n = 0$ pour tout $n$ (série en cosinus uniquement)
• Si $f$ est impaire ($f(-t)=-f(t)$) : $a_n = 0$ pour tout $n$ (série en sinus uniquement)

Théorème de convergence (Dirichlet) : Si $f$ vérifie les conditions de Dirichlet sur $[0, T]$, alors :

• Aux points de continuité $t_0$ : la série converge vers $f(t_0)$.
• Aux points de discontinuité $t_0$ : la série converge vers la moyenne des limites à gauche et à droite :

$S(t_0) = \frac{f(t_0^-) + f(t_0^+)}{2}$

Convergence dans $L^2$ : la série converge au sens de l'énergie :

$\lim_{N\to\infty}\frac{1}{T}\int_0^T \left|f(t) - S_N(t)\right|^2 dt = 0$

Phénomène de Gibbs : aux voisinages des discontinuités, la somme partielle $S_N$ présente des oscillations (dépassements) d'environ $\pm 9\%$ de l'amplitude du saut, quelle que soit la valeur de $N$. Ce phénomène ne disparaît pas en augmentant $N$ — il se déplace vers la discontinuité mais reste de même amplitude.

Identité de Parseval : l'énergie du signal se conserve : $\frac{1}{T}\int_0^T |f(t)|^2\,dt = \frac{a_0^2}{4} + \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2 + b_n^2) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty}|c_n|^2$

La représentation fréquentielle d'un signal périodique s'appelle son spectre. Pour chaque harmonique de rang $n$, on définit :

Amplitude de l'harmonique $n$ : $C_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}, \quad n \geq 1 \qquad C_0 = \frac{|a_0|}{2}$

Phase de l'harmonique $n$ : $\phi_n = -\arctan\!\left(\frac{b_n}{a_n}\right)$

La série de Fourier se réécrit sous forme amplitude-phase : $f(t) = C_0 + \sum_{n=1}^{\infty} C_n \cos\!\left(\frac{2\pi n}{T}t + \phi_n\right)$

Spectre d'amplitude : diagramme représentant $C_n$ en fonction de la fréquence $nf_0$. Il montre quelles fréquences composent le signal et avec quelle intensité.

Bande passante : fréquence au-delà de laquelle les amplitudes $C_n$ deviennent négligeables. Un signal discontinu a un spectre à décroissance lente (en $1/n$) — il faut de nombreuses harmoniques pour le représenter fidèlement.