Échantillonnage et Shannon

Échantillonner un signal continu $x(t)$ consiste à prélever ses valeurs à intervalles réguliers de période $T_s$ :

$x[n] = x(nT_s), \quad n \in \mathbb{Z}$

La fréquence d'échantillonnage est $f_s = 1/T_s$ (en Hz).

Mathématiquement, l'échantillonnage correspond à multiplier le signal par un peigne de Dirac :

$x_s(t) = x(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(t - nT_s)$

Dans le domaine fréquentiel, cette multiplication devient une convolution avec un peigne de Dirac en fréquence, ce qui se traduit par une périodisation du spectre de $x$ avec période $f_s$.

Théorème de Nyquist-Shannon :

Un signal $x(t)$ dont le spectre est limité à $f_{\max}$ Hz (signal à bande limitée) peut être parfaitement reconstruit depuis ses échantillons si et seulement si :

$\boxed{f_s \geq 2\,f_{\max}}$

La fréquence $f_N = f_s/2$ est appelée fréquence de Nyquist. Elle est la fréquence maximale représentable sans distorsion.

Démonstration intuitive : l'échantillonnage périodise le spectre avec période $f_s$. Pour que les copies spectrales ne se chevauchent pas (condition nécessaire à la reconstruction), il faut que la largeur du spectre $2f_{\max}$ soit inférieure ou égale à $f_s$, soit $f_s \geq 2f_{\max}$.

Formule de reconstruction (interpolation de Whittaker-Shannon) :

$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot \text{sinc}\!\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right)$

où $\text{sinc}(u) = \frac{\sin(\pi u)}{\pi u}$. La reconstruction est exacte — pas d'information perdue si $f_s \geq 2f_{\max}$.

Si $f_s < 2f_{\max}$, les copies du spectre créées par l'échantillonnage périodique se chevauchent — c'est le repliement spectral (aliasing).

Conséquence : les composantes fréquentielles situées au-dessus de $f_N$ sont mal représentées. Dans le signal reconstruit, elles réapparaissent comme des fréquences parasites inférieures à $f_N$.

Calcul de la fréquence repliée : une sinusoïde de fréquence $f_0 > f_N$ échantillonnée à $f_s$ apparaît à la fréquence : $f_{\text{replié}} = \left| f_0 - \text{round}\!\left(\frac{f_0}{f_s}\right) \cdot f_s \right|$

Cas simple — si $f_N < f_0 < f_s$ : alors $f_{\text{replié}} = f_s - f_0$.

Prévention : utiliser un filtre anti-aliasing (filtre passe-bas de coupure $f_c \leq f_N$) AVANT l'échantillonnage pour éliminer les composantes qui se replieraient.

Reconstruction idéale (Whittaker-Shannon) : la reconstruction parfaite s'obtient par convolution des échantillons avec un filtre sinus cardinal (passe-bas idéal de fréquence de coupure $f_N$) :

$x(t) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot \text{sinc}\!\left(\frac{t - nT_s}{T_s}\right)$

Ce filtre a une réponse fréquentielle rectangulaire : il laisse passer exactement $|f| \leq f_N$ et coupe parfaitement au-delà. Son support temporel est infini (le sinus cardinal s'étend à $\pm\infty$), ce qui le rend non causal et non implémentable directement.

En pratique — chaîne de reconstruction numérique :

1. CNA (convertisseur numérique-analogique) : produit une approximation en escalier (maintien d'ordre zéro, ZOH) — constant sur chaque $[nT_s,(n+1)T_s)$
2. Filtre de lissage analogique : filtre passe-bas qui élimine les harmoniques dues à l'effet d'escalier et restitue un signal continu
3. La pente de coupure dépend de l'ordre du filtre : un filtre d'ordre $N$ donne $-20N$ dB/décade au-delà de la coupure

Bruit de quantification : encoder chaque valeur sur $B$ bits introduit une erreur. Le rapport signal sur bruit est : $\text{SNR} \approx 6{,}02B + 1{,}76 \text{ dB}$ Chaque bit supplémentaire apporte environ 6 dB de SNR.