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Pourquoi apprendre ça ?

Une équation différentielle ordinaire (EDO) relie une fonction à ses dérivées. La méthode de séparation des variables est la technique la plus directe : si l'équation peut s'écrire $\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)$ , on "sépare" $x$ et $y$ de chaque côté et on intègre indépendamment. Simple en apparence, cette méthode résout des modèles fondamentaux de croissance, refroidissement, désintégration radioactive et réactions chimiques.

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Analogie

Imagine remplir une baignoire dont la bonde laisse fuir de l'eau à une vitesse proportionnelle à la hauteur d'eau. La variation de hauteur dépend à la fois du temps (robinet) et de la hauteur actuelle (bonde). Séparer les variables, c'est comme dire "tout ce qui concerne la hauteur d'un côté, tout ce qui concerne le temps de l'autre", puis résoudre chaque côté indépendamment.

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Théorie

Une EDO est à variables séparables si elle peut s'écrire sous la forme :

$\frac{dy}{dx} = g(x) \cdot h(y)$

Méthode de résolution (si $h(y) \neq 0$ ) :

Séparer : $\dfrac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx$
Intégrer des deux côtés : $\displaystyle\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$
Résoudre pour $y$ (si possible)

Cas particulier : si $h(y_0) = 0$ , alors $y = y_0$ est une solution singulière constante (à vérifier séparément).

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Équation de croissance : dy/dx = ky

$\dfrac{dy}{dx} = ky$ (croissance/décroissance exponentielle).

Séparation : $\dfrac{dy}{y} = k\,dx$ (valable si $y \neq 0$ )

Intégration : $\ln|y| = kx + C_1 \Rightarrow y = Ae^{kx}$

La solution générale est $y(x) = Ae^{kx}$ , $A \in \mathbb{R}$ .

Condition initiale $y(0) = y_0$ : $A = y_0$ , donc $y(x) = y_0 e^{kx}$ .

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Checkpoint

Pour résoudre par séparation, on obtient l'équation intégrale :

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Théorie

La méthode de séparation des variables suit quatre étapes formelles :

Étape 1 — Identifier la forme séparable : Vérifier que l'EDO s'écrit $y' = g(x) \cdot h(y)$ . Si ce n'est pas évident, tenter des factorisations.

Étape 2 — Traiter les zéros de $h$ : Résoudre $h(y) = 0$ . Chaque solution $y = y^*$ est une solution d'équilibre (solution constante) — la noter et continuer avec $h(y) \neq 0$ .

Étape 3 — Séparer et intégrer : $\frac{dy}{h(y)} = g(x)\,dx \quad \Longrightarrow \quad \int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx + C$

Étape 4 — Résoudre pour $y$ et vérifier : Exprimer $y$ explicitement si possible. Vérifier si les solutions d'équilibre sont incluses dans la solution générale.

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Application des 4 étapes : y' = y²

Résoudre $\dfrac{dy}{dx} = y^2$ .

Étape 1 : $g(x) = 1$ , $h(y) = y^2$ . Forme séparable ✓.

Étape 2 : $h(y) = y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$ . Solution d'équilibre : $y \equiv 0$ .

Étape 3 : $\dfrac{dy}{y^2} = dx \Rightarrow -\dfrac{1}{y} = x + C$ .

Étape 4 : $y = \dfrac{1}{C - x}$ , définie sur un intervalle ne contenant pas $x = C$ .

Remarque : La solution $y \equiv 0$ n'est pas incluse dans la famille générale pour une valeur finie de $C$ .

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Piège : ne pas oublier les solutions d'équilibre

En séparant $\frac{dy}{h(y)} = g(x)dx$ , on suppose $h(y) \neq 0$ . Les valeurs $y^*$ où $h(y^*) = 0$ donnent des solutions constantes $y = y^*$ qui ne s'obtiennent pas par intégration. Pour $\frac{dy}{dx} = y(1-y)$ , les équilibres $y=0$ et $y=1$ sont des solutions à vérifier séparément.

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Théorie

Problème de Cauchy : Résoudre l'EDO $y' = f(x, y)$ avec une condition initiale $y(x_0) = y_0$ .

Théorème de Cauchy-Lipschitz (existence et unicité) : Si $f$ est continue et lipschitzienne en $y$ au voisinage de $(x_0, y_0)$ (c'est-à-dire $|f(x,y_1) - f(x,y_2)| \leq L|y_1 - y_2|$ ), alors le problème de Cauchy admet une solution unique au voisinage de $x_0$ .

Conséquences pratiques :

Si $h(y)$ est $C^1$ et $h(y_0) \neq 0$ , l'unicité est garantie.
Si $h(y_0) = 0$ (équilibre), l'unicité peut être perdue — plusieurs solutions peuvent partir du même point.
La solution peut n'exister que sur un intervalle strict (explosion en temps fini, comme pour $y' = y^2$ ).

Interprétation géométrique : Par chaque point $(x_0, y_0)$ où Cauchy-Lipschitz s'applique, passe exactement une courbe intégrale — les trajectoires ne se croisent jamais.

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Problème de Cauchy — exemple complet

Résoudre $y' = -2xy$ , $y(0) = 3$ .

Séparation : $\dfrac{dy}{y} = -2x\,dx$

Intégration : $\ln|y| = -x^2 + C_1 \Rightarrow y = Ae^{-x^2}$

CI : $y(0) = A = 3$ .

Solution particulière : $y(x) = 3e^{-x^2}$ — une courbe en cloche (gaussienne), définie sur tout $\mathbb{R}$ .

Unicité garantie : $f(x,y) = -2xy$ est $C^\infty$ , Cauchy-Lipschitz s'applique partout.

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Checkpoint

Pour l'EDO , la solution avec condition initiale est :

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Théorie

Croissance et décroissance exponentielles : $\frac{dN}{dt} = kN \quad \Rightarrow \quad N(t) = N_0 e^{kt}$

$k > 0$ : croissance (population, intérêts composés).
$k < 0$ : décroissance (désintégration radioactive, amortissement).

Loi de refroidissement de Newton : $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_{\text{amb}}), \quad k > 0 \quad \Rightarrow \quad T(t) = T_{\text{amb}} + (T_0 - T_{\text{amb}})e^{-kt}$ La température converge exponentiellement vers $T_{\text{amb}}$ .

Radioactivité — demi-vie : $\frac{dN}{dt} = -\lambda N \quad \Rightarrow \quad N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ La demi-vie est le temps pour que la moitié des noyaux se désintègrent : $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2} \quad \Rightarrow \quad t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$

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Refroidissement de Newton — trace complète

Un café à $90$ °C dans une pièce à $20$ °C. Après $5$ min, il est à $70$ °C. Température après $15$ min ?

EDO : $T' = -k(T - 20)$ , solution $T(t) = 20 + (T_0 - 20)e^{-kt}$

CI $T(0) = 90$ : $T(t) = 20 + 70e^{-kt}$

Trouver $k$ : $T(5) = 70 \Rightarrow e^{-5k} = \dfrac{50}{70} = \dfrac{5}{7} \Rightarrow k = -\dfrac{1}{5}\ln\!\left(\dfrac{5}{7}\right) \approx 0{,}0673\ \text{min}^{-1}$

Réponse : $T(15) = 20 + 70 \times \left(\dfrac{5}{7}\right)^3 \approx 20 + 25{,}5 = 45{,}5$ °C

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Radioactivité — calcul de demi-vie et datation

Le carbone-14 a $\lambda = 1{,}21 \times 10^{-4}\ \text{an}^{-1}$ .

Demi-vie : $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda} = \dfrac{0{,}693}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 5730\ \text{ans}$ .

Datation : Un échantillon contient $60\%$ du ${}^{14}$ C initial. Son âge : $-\lambda t = \ln(0{,}6) \Rightarrow t = -\frac{\ln(0{,}6)}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx \frac{0{,}511}{1{,}21 \times 10^{-4}} \approx 4220\ \text{ans}$

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Checkpoint

La loi de refroidissement de Newton a pour solution générale :

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Checkpoint

Un isotope radioactif a une demi-vie de ans. Quel pourcentage reste après ans ?

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À retenir

EDO séparable : $y' = g(x)h(y)$ → séparer $dy/h(y) = g(x)dx$ → intégrer → résoudre pour $y$ .
4 étapes : identifier la forme, traiter les zéros de $h$ , séparer/intégrer, résoudre et vérifier.
Cauchy-Lipschitz : si $f$ est $C^1$ en $y$ , la solution est unique au voisinage de $(x_0, y_0)$ .
Toujours vérifier les solutions d'équilibre $h(y^*) = 0$ séparément.
Croissance expo : $N' = kN \Rightarrow N = N_0 e^{kt}$ .
Refroidissement Newton : $T' = -k(T-T_{\text{amb}}) \Rightarrow T = T_{\text{amb}} + Ce^{-kt}$ .
Radioactivité : $N' = -\lambda N \Rightarrow t_{1/2} = \ln 2 / \lambda$ .

Équations séparables

Équations à variables séparables

Méthode de séparation — Étapes détaillées

Conditions initiales et problème de Cauchy

Applications classiques