MathQuest — Maths pour l'ingénieur

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Pourquoi apprendre ça ?

La méthode de l'équation caractéristique est le couteau suisse des EDO linéaires à coefficients constants. Elle permet de résoudre l'équation homogène rapidement, et la méthode de variation de la constante fournit une solution particulière pour le terme non homogène. Ces techniques s'appliquent à l'oscillateur harmonique, au circuit LC, à de nombreux systèmes physiques.

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Analogie

Résoudre une EDO du 2ème ordre, c'est comme trouver une équation de trajectoire : la solution homogène décrit le comportement naturel du système (sans excitation), et la solution particulière décrit la réponse forcée (avec excitation externe). La solution générale est la superposition des deux — le système naturel plus la réponse à l'excitation.

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Théorie

Pour $ay'' + by' + cy = 0$ , l'équation caractéristique $ar^2 + br + c = 0$ donne :

$\Delta > 0$ : $y_h = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$
$\Delta = 0$ : $y_h = (C_1 + C_2 t)e^{r_0 t}$
$\Delta < 0$ : $y_h = e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t)$ avec $r = \alpha \pm i\beta$

La solution générale de l'équation non homogène $ay'' + by' + cy = f(t)$ est :

$y = y_h + y_p$

où $y_h$ est la solution générale de l'homogène et $y_p$ est une solution particulière de la non-homogène.

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Structure de la solution complète

Équation non homogène : $y'' - 5y' + 6y = e^{t}$

Homogène ( $y'' - 5y' + 6y = 0$ ) : Eq. car. : $r^2 - 5r + 6 = 0 \Rightarrow r_1 = 2,\ r_2 = 3$ $y_h = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t}$

Particulière : on cherche $y_p$ (méthode ci-dessous).

Solution générale : $y = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t} + y_p$

Les constantes $C_1, C_2$ s'adaptent aux conditions initiales après avoir ajouté $y_p$ .

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Théorie

Pour certaines formes de $f(t)$ , on peut deviner la forme de $y_p$ :

| $f(t)$ | Forme de $y_p$ (si $r$ non racine car.) | |--------|----------------------------------------| | $P_n(t)$ (polynôme de degré $n$ ) | $Q_n(t)$ (polynôme de degré $n$ ) | | $e^{at}$ | $Ae^{at}$ | | $e^{at}P_n(t)$ | $e^{at}Q_n(t)$ | | $\cos(\omega t)$ ou $\sin(\omega t)$ | $A\cos\omega t + B\sin\omega t$ | | $e^{at}\cos(\omega t)$ | $e^{at}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)$ |

Règle de résonance : si la forme proposée est solution de l'homogène (racine caractéristique), multiplier par $t$ (ou $t^2$ si racine double).

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Coefficients indéterminés — trois exemples

Exemple 1 : $y'' - 5y' + 6y = e^t$

$e^t \to y_p = Ae^t$ . Substitution : $Ae^t - 5Ae^t + 6Ae^t = 2Ae^t = e^t \Rightarrow A = 1/2$

$y_p = \frac{1}{2}e^t$

Exemple 2 : $y'' + y = \sin(t)$

Eq. car. : $r^2 + 1 = 0 \Rightarrow r = \pm i$ . Or $\sin(t) = \text{Im}(e^{it})$ — résonance !

Forme : $y_p = t(A\cos t + B\sin t)$ .

Substitution (développement) : $y_p'' + y_p = -2A\sin t + 2B\cos t = \sin t$

$A = -1/2,\ B = 0 \Rightarrow y_p = -\frac{t}{2}\cos t$

Exemple 3 : $y'' - 3y' + 2y = t^2$

$y_p = At^2 + Bt + C$ . Substitution : $(2A) - 3(2At+B) + 2(At^2+Bt+C) = t^2$

$2At^2 + (-6A+2B)t + (2A - 3B + 2C) = t^2$

Système : $2A=1$ , $-6A+2B=0$ , $2A-3B+2C=0$ → $A=1/2$ , $B=3/2$ , $C=7/4$ .

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Checkpoint

Pour y'' + 4y = cos(2t), pourquoi ne peut-on pas prendre directement y_p = A cos(2t) + B sin(2t) ?

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Théorie

La méthode de variation de la constante (ou de Lagrange) trouve $y_p$ pour n'importe quel $f(t)$ .

Connaissant $y_h = C_1 y_1 + C_2 y_2$ , on cherche $y_p = u_1(t) y_1 + u_2(t) y_2$ .

Les fonctions $u_1', u_2'$ vérifient le système de Lagrange :

$\begin{cases} u_1' y_1 + u_2' y_2 = 0 \\ u_1' y_1' + u_2' y_2' = \dfrac{f(t)}{a} \end{cases}$

Résolution par la règle de Cramer ( $W = y_1 y_2' - y_2 y_1'$ est le wronskien) :

$u_1' = -\frac{y_2 f(t)/a}{W}, \quad u_2' = \frac{y_1 f(t)/a}{W}$

Puis $u_1 = \int u_1'\,dt$ et $u_2 = \int u_2'\,dt$ (prendre la constante à 0 pour une solution particulière).

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Variation de la constante — oscillateur forcé

$y'' + y = \tan t$ (pas traitée par coefficients indéterminés)

Homogène : $y_1 = \cos t$ , $y_2 = \sin t$ , $W = \cos^2 t + \sin^2 t = 1$ .

$u_1' = -\frac{\sin t \cdot \tan t}{1} = -\frac{\sin^2 t}{\cos t} = \cos t - \frac{1}{\cos t}$

$u_2' = \frac{\cos t \cdot \tan t}{1} = \sin t$

Intégration : $u_1 = \sin t - \ln|\sec t + \tan t|$ $u_2 = -\cos t$

Solution particulière : $y_p = (\sin t - \ln|\sec t + \tan t|)\cos t + (-\cos t)\sin t = -\cos t \ln|\sec t + \tan t|$

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Piège : confondre solution générale de l'homogène et de la complète

La solution générale de l'EDO non homogène est $y = y_h + y_p$ où $y_p$ est UNE solution particulière (sans constantes), et $y_h$ contient les constantes $C_1, C_2$ . On N'AJOUTE PAS les constantes de $y_h$ à $y_p$ — $y_p$ est déjà une fonction déterminée. Les constantes ne sont dans $y_h$ que pour s'adapter aux conditions initiales.

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Théorie

Conditions initiales : Pour l'EDO non homogène $ay'' + by' + cy = f(t)$ avec $y(t_0) = y_0$ , $y'(t_0) = y_0'$ :

Trouver $y_h = C_1 y_1 + C_2 y_2$
Trouver $y_p$
Écrire $y = y_h + y_p$
Appliquer les CI : système 2×2 en $C_1, C_2$ :

$\begin{cases} C_1 y_1(t_0) + C_2 y_2(t_0) = y_0 - y_p(t_0) \\ C_1 y_1'(t_0) + C_2 y_2'(t_0) = y_0' - y_p'(t_0) \end{cases}$

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Solution complète avec conditions initiales

$y'' + 2y' + y = e^{-t}$ , $y(0) = 0$ , $y'(0) = 1$ .

Homogène : $r^2 + 2r + 1 = (r+1)^2 = 0 \Rightarrow r_0 = -1$ (double)

$y_h = (C_1 + C_2 t)e^{-t}$

Particulière : $e^{-t}$ est solution de l'homogène (racine double) → $y_p = At^2 e^{-t}$

$y_p'' + 2y_p' + y_p = 2Ae^{-t} = e^{-t} \Rightarrow A = 1/2$

$y_p = \frac{t^2}{2}e^{-t}$

Solution générale : $y = (C_1 + C_2 t)e^{-t} + \frac{t^2}{2}e^{-t} = \left(C_1 + C_2 t + \frac{t^2}{2}\right)e^{-t}$

CI : $y(0) = C_1 = 0 \Rightarrow C_1 = 0$

$y'(t) = \left(C_2 + t - (C_1 + C_2 t + \frac{t^2}{2})\right)e^{-t}$ , $y'(0) = C_2 - C_1 = C_2 = 1$

Solution : $y(t) = \left(t + \frac{t^2}{2}\right)e^{-t}$

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Checkpoint

Pour y'' + y = e^t, quelle est la forme correcte de y_p ?

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Théorie

Le circuit RLC série (résistance $R$ , inductance $L$ , condensateur $C$ ) vérifie l'EDO du second ordre :

$L\,\ddot{q} + R\,\dot{q} + \frac{1}{C}q = e(t)$

où $q(t)$ est la charge sur le condensateur et $e(t)$ la tension source. En posant $2\alpha = R/L$ et $\omega_0^2 = 1/(LC)$ :

$\ddot{q} + 2\alpha\,\dot{q} + \omega_0^2\,q = \frac{e(t)}{L}$

L'équation caractéristique est $r^2 + 2\alpha r + \omega_0^2 = 0$ , de discriminant $\Delta = \alpha^2 - \omega_0^2$ .

Trois régimes selon $\Delta$ :

| Condition | Régime | Solution homogène | |---|---|---| | $\alpha > \omega_0$ ( $\Delta > 0$ ) | Apériodique | $q_h = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$ , $r_1, r_2 < 0$ | | $\alpha = \omega_0$ ( $\Delta = 0$ ) | Critique | $q_h = (C_1 + C_2 t)e^{-\alpha t}$ | | $\alpha < \omega_0$ ( $\Delta < 0$ ) | Oscillatoire amorti | $q_h = e^{-\alpha t}(C_1\cos\omega_1 t + C_2\sin\omega_1 t)$ , $\omega_1 = \sqrt{\omega_0^2 - \alpha^2}$ |

Le régime critique correspond au retour à l'équilibre le plus rapide sans oscillation — recherché dans les systèmes de freinage et d'amortissement.

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Circuit RLC — trois régimes avec rad/s

Conditions initiales : $q(0) = 1$ , $\dot{q}(0) = 0$ , pas d'alimentation ( $e = 0$ ).

Régime apériodique ( $\alpha = 3$ ) : $r = -3 \pm \sqrt{5}$ , donc $r_1 \approx -0.76$ , $r_2 \approx -5.24$ .

$q(t) = C_1 e^{-0.76\,t} + C_2 e^{-5.24\,t} \quad \text{(retour sans oscillation, lent)}$

Régime critique ( $\alpha = 2 = \omega_0$ ) : $q(t) = (C_1 + C_2 t)e^{-2t}$ .

CI : $C_1 = 1$ , $C_2 - 2C_1 = 0 \Rightarrow C_2 = 2$ .

$q(t) = (1 + 2t)e^{-2t} \quad \text{(retour optimal, sans oscillation)}$

Régime oscillatoire ( $\alpha = 1$ ) : $\omega_1 = \sqrt{4-1} = \sqrt{3}$ .

$q(t) = e^{-t}(C_1\cos\sqrt{3}\,t + C_2\sin\sqrt{3}\,t) \quad \text{(oscillations amorties)}$

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Checkpoint

Pour un circuit RLC avec , H, F (donc rad/s, ), quel est le régime ?

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Checkpoint

L'EDO a une solution particulière de la forme :

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À retenir

Solution générale = $y_h$ (homogène) + $y_p$ (particulière)
Coefficients indéterminés : deviner la forme de $y_p$ selon $f(t)$ — multiplier par $t$ en cas de résonance (par $t^2$ si racine double)
Variation de la constante : méthode universelle via le wronskien et le système de Lagrange
Conditions initiales : les appliquer à $y = y_h + y_p$ complet, pas seulement à $y_h$
Circuit RLC : $\ddot{q} + 2\alpha\dot{q} + \omega_0^2 q = e(t)/L$ — trois régimes : apériodique ( $\alpha > \omega_0$ ), critique ( $\alpha = \omega_0$ , retour optimal), oscillatoire ( $\alpha < \omega_0$ )
Résonance : si la forme proposée de $y_p$ est solution de l'homogène → multiplier par $t$ (ou $t^2$ si racine double)

Équation caractéristique

Rappel : EDO homogène et équation caractéristique

Méthode des coefficients indéterminés

Variation de la constante

Application : circuit RLC et régimes