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Pourquoi apprendre ça ?

Les EDO du 2ème ordre $ay'' + by' + cy = 0$ modélisent l'oscillateur harmonique, les circuits RLC, les vibrations mécaniques. La clé est que les solutions forment un espace vectoriel de dimension 2 — tout se ramène à trouver deux solutions indépendantes, puis à les combiner. Le discriminant de l'équation caractéristique détermine entièrement la nature du régime : oscillant, amorti critique, ou sur-amorti.

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Analogie

Un ressort attaché à une masse est un oscillateur. Sans amortissement, il oscille indéfiniment. Avec un peu d'amortissement ( $\Delta < 0$ ), les oscillations s'atténuent exponentiellement — régime sous-critique. Avec exactement le bon amortissement ( $\Delta = 0$ ), le système revient le plus vite possible sans osciller — régime critique. Avec trop d'amortissement ( $\Delta > 0$ ), le retour est lent et monotone — régime sur-critique. Ces trois régimes ont des analogues directs dans les circuits RLC.

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Théorie

L'EDO linéaire homogène du 2ème ordre à coefficients constants est : $ay'' + by' + cy = 0, \quad a \neq 0$

On cherche des solutions de la forme $y = e^{rt}$ . En substituant, on obtient l'équation caractéristique : $ar^2 + br + c = 0 \qquad \Delta = b^2 - 4ac$

Principe de superposition : l'espace des solutions est de dimension 2. Toute solution s'écrit $y = C_1 y_1 + C_2 y_2$ avec $y_1, y_2$ linéairement indépendantes.

Trois cas selon le signe de $\Delta$ :

| Cas | Racines | Solution générale | |---|---|---| | $\Delta > 0$ | $r_1, r_2$ réels distincts | $C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$ | | $\Delta = 0$ | $r_0$ double | $(C_1 + C_2 t)\,e^{r_0 t}$ | | $\Delta < 0$ | $\alpha \pm i\beta$ complexes | $e^{\alpha t}(C_1\cos\beta t + C_2\sin\beta t)$ |

Les constantes $C_1, C_2$ sont déterminées par les conditions initiales $y(t_0) = y_0$ et $y'(t_0) = y_0'$ .

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Les trois cas — exemples explicites

Cas $\Delta > 0$ : $y'' - 5y' + 6y = 0$

$r^2 - 5r + 6 = 0 \Rightarrow r_1 = 2,\ r_2 = 3$ . Solution : $y = C_1 e^{2t} + C_2 e^{3t}$

Cas $\Delta = 0$ : $y'' - 4y' + 4y = 0$

$(r-2)^2 = 0 \Rightarrow r_0 = 2$ (double). Solution : $y = (C_1 + C_2 t)e^{2t}$

Cas $\Delta < 0$ : $y'' + 2y' + 5y = 0$

$r = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4-20}}{2} = -1 \pm 2i \Rightarrow \alpha = -1,\ \beta = 2$

Solution : $y = e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)$ — oscillations exponentiellement amorties.

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Checkpoint

L'équation caractéristique de a comme racine :

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Théorie

Pour l'oscillateur mécanique masse-ressort-amortisseur $m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0$ , le coefficient d'amortissement réduit est : $\zeta = \frac{c}{2\sqrt{mk}}$

| Régime | Condition | $\Delta$ | Comportement | |---|---|---|---| | Sous-amorti | $\zeta < 1$ | $< 0$ | Oscillations amorties : $e^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \varphi)$ | | Amorti critique | $\zeta = 1$ | $= 0$ | Retour le plus rapide sans oscillation | | Sur-amorti | $\zeta > 1$ | $> 0$ | Retour exponentiel lent, sans oscillation |

Avec $\omega_0 = \sqrt{k/m}$ (pulsation propre) et $\omega_d = \omega_0\sqrt{1-\zeta^2}$ (pulsation amortie).

Régime sous-amorti — forme amplitude-phase : $x(t) = A\,e^{-\zeta\omega_0 t}\cos(\omega_d t + \varphi)$

L'enveloppe $A e^{-\zeta\omega_0 t}$ décroît exponentiellement tandis que la phase oscille à $\omega_d$ .

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Oscillateur sous-amorti — conditions initiales

$y'' + 2y' + 5y = 0$ , $y(0) = 1$ , $y'(0) = 0$ .

Racines : $r = -1 \pm 2i$ — solution générale : $y = e^{-t}(C_1\cos 2t + C_2\sin 2t)$

CI 1 : $y(0) = C_1 = 1$

CI 2 : $y'(t) = e^{-t}[(-C_1 + 2C_2)\cos 2t + (-2C_1 - C_2)\sin 2t]$

$y'(0) = -C_1 + 2C_2 = 0 \Rightarrow C_2 = \dfrac{1}{2}$

Solution : $y(t) = e^{-t}\!\left(\cos 2t + \dfrac{1}{2}\sin 2t\right)$

Oscillation de pulsation $\omega_d = 2$ rad/s, amplitude décroissant comme $e^{-t}$ .

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Théorie

Un circuit série RLC vérifie : $L\ddot{q} + R\dot{q} + \frac{q}{C} = 0$

où $q(t)$ est la charge du condensateur. Structure identique à l'oscillateur mécanique :

| Mécanique | Électrique | |---|---| | Masse $m$ | Inductance $L$ | | Amortissement $c$ | Résistance $R$ | | Raideur $k$ | $1/C$ | | Position $x$ | Charge $q$ | | Vitesse $\dot{x}$ | Courant $i = \dot{q}$ |

Pulsation propre : $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$

Coefficient d'amortissement : $\zeta = \dfrac{R}{2}\sqrt{\dfrac{C}{L}}$

Sous-amorti ( $R < 2\sqrt{L/C}$ ) : oscillations électriques amorties
Amorti critique ( $R = 2\sqrt{L/C}$ ) : décharge optimale, utilisé en électronique de puissance
Sur-amorti ( $R > 2\sqrt{L/C}$ ) : retour lent vers l'équilibre

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Circuit RLC sous-amorti

$L = 1$ H, $C = 0{,}25$ F, $R = 2\ \Omega$ . EDO : $\ddot{q} + 2\dot{q} + 4q = 0$ .

Équation caractéristique : $r^2 + 2r + 4 = 0 \Rightarrow r = -1 \pm i\sqrt{3}$

Donc $\alpha = -1$ , $\beta = \sqrt{3}$ , $\omega_0 = 2$ rad/s, $\zeta = 1/2 < 1$ : régime sous-amorti.

$q(t) = e^{-t}\!\left(C_1\cos\sqrt{3}\,t + C_2\sin\sqrt{3}\,t\right)$

La charge oscille à $\omega_d = \sqrt{3}$ rad/s avec enveloppe $e^{-t}$ .

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Piège : le cas racine double requiert le facteur t

Pour une racine double $r_0$ , la solution n'est PAS $(C_1 + C_2)e^{r_0 t}$ — ce ne serait qu'une seule fonction. La deuxième solution indépendante est $t\,e^{r_0 t}$ . Sans ce facteur $t$ , le wronskien est nul et on ne peut pas satisfaire deux conditions initiales indépendantes.

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Checkpoint

Pour , quelle est la solution générale ?

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Checkpoint

Circuit RLC série : H, F, . Quel est le régime d'amortissement ?

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Checkpoint

La solution de avec , est :

EDO du 2nd ordre

Équation caractéristique et structure des solutions

Régimes d'amortissement — analyse physique

Application aux circuits RLC