EDO du 1er ordre

Une équation différentielle ordinaire (EDO) du 1er ordre est une relation entre une fonction inconnue $y(t)$, sa dérivée $y'(t)$ et éventuellement $t$ : $y'(t) = f(t,\, y(t))$

Solution générale : famille de fonctions contenant une constante arbitraire $C$.

Condition initiale : $y(t_0) = y_0$. Elle fixe la valeur de $C$ et sélectionne une solution particulière — c'est le problème de Cauchy.

Deux grands types :

1. Variables séparables : $y' = g(t)\cdot h(y)$
2. Linéaires du 1er ordre : $y' + p(t)\,y = q(t)$

Une EDO est à variables séparables si elle s'écrit $\dfrac{dy}{dt} = g(t)\cdot h(y)$.

Méthode :

1. Séparer : $\dfrac{dy}{h(y)} = g(t)\,dt$
2. Intégrer des deux côtés : $\displaystyle\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(t)\,dt + C$
3. Exprimer $y(t)$ explicitement si possible
4. Appliquer la condition initiale pour déterminer $C$

Cas fondamental — croissance/décroissance exponentielle : $y' = ay \quad \Longrightarrow \quad \frac{dy}{y} = a\,dt \quad \Longrightarrow \quad \ln|y| = at + C_1$ $\boxed{y(t) = C\,e^{at}} \quad \text{avec } C = y(0) = y_0$

Si $a > 0$ : croissance exponentielle. Si $a < 0$ : décroissance exponentielle (amortissement).

L'équation linéaire du 1er ordre est de la forme : $y'(t) + p(t)\,y(t) = q(t)$

Méthode du facteur intégrant :

Multiplier les deux membres par $\mu(t) = e^{\int p(t)\,dt}$ : $\frac{d}{dt}\!\left[\mu(t)\,y(t)\right] = \mu(t)\,q(t)$

Intégrer des deux côtés : $\mu(t)\,y(t) = \int \mu(t)\,q(t)\,dt + K$

$\boxed{y(t) = \frac{1}{\mu(t)}\left(\int \mu(t)\,q(t)\,dt + K\right)}$

Méthode alternative — variation de la constante :

1. Résoudre l'équation homogène ($q = 0$) : $y_h = C\,e^{-P(t)}$ avec $P(t) = \int p(t)\,dt$
2. Chercher une solution particulière $y_p$ (constante si $q$ est constante et $p$ est constante)
3. Solution générale : $y = y_h + y_p$

Désintégration radioactive : $\frac{dN}{dt} = -\lambda N \implies N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$

La demi-vie $t_{1/2} = \dfrac{\ln 2}{\lambda}$ est le temps pour que la moitié des noyaux se désintègrent.

Croissance logistique (population avec limite) : $\frac{dN}{dt} = rN\!\left(1 - \frac{N}{K}\right)$

La population converge vers la capacité limite $K$. Solution : $N(t) = \frac{K}{1 + \left(\frac{K}{N_0} - 1\right)e^{-rt}}$

Tableau récapitulatif :

| Modèle | EDO | Solution | |---|---|---| | Croissance/décroissance | $y' = ay$ | $y_0 e^{at}$ | | Circuit RC (charge) | $u' + u/\tau = E/\tau$ | $E(1 - e^{-t/\tau})$ | | Refroidissement | $T' = -k(T - T_a)$ | $T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$ | | Désintégration | $N' = -\lambda N$ | $N_0 e^{-\lambda t}$ |

Méthode d'Euler — discrétisation numérique :

Quand on ne peut pas résoudre analytiquement $y' = f(t, y)$, on approche la solution par des pas discrets de taille $h$ (le pas de temps) :

$\boxed{y_{n+1} = y_n + h \cdot f(t_n,\, y_n)}, \quad t_n = t_0 + n\,h, \quad y_0 = y(t_0)$

Interprétation : on remplace la dérivée par la pente locale au point $(t_n, y_n)$ et on avance en ligne droite sur une durée $h$.

Erreur locale : $O(h^2)$ par pas (erreur de troncature). Erreur globale sur $[t_0, T]$ : $O(h)$ — méthode d'ordre 1.

Pour réduire l'erreur de moitié, il faut diviser $h$ par 2 (et doubler le nombre de pas).

Méthode de Runge-Kutta d'ordre 4 (RK4) : erreur globale $O(h^4)$ — méthode standard en pratique.

Équation logistique — croissance limitée :

$\frac{dN}{dt} = rN\!\left(1 - \frac{N}{K}\right), \quad N(0) = N_0$

• $r > 0$ : taux de croissance intrinsèque
• $K$ : capacité limite (carrying capacity)
• Points d'équilibre : $N^* = 0$ (instable) et $N^* = K$ (stable)

Solution sigmoïde exacte : $N(t) = \frac{K}{1 + \left(\dfrac{K}{N_0} - 1\right)e^{-rt}}$

Pour $N_0 \ll K$ : phase quasi-exponentielle au début, puis ralentissement et convergence vers $K$.