Intégration numérique

On divise $[a,b]$ en $n$ sous-intervalles de largeur $h = (b-a)/n$, avec $x_i = a + ih$.

Rectangles à gauche : $\int_a^b f(x)\,dx \approx h \sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)$

Rectangles à droite : $\int_a^b f(x)\,dx \approx h \sum_{i=1}^{n} f(x_i)$

Rectangle du milieu (point médian — plus précis) : $\int_a^b f(x)\,dx \approx h \sum_{i=0}^{n-1} f\!\left(x_i + \frac{h}{2}\right)$

Erreur pour la méthode du point médian : $O(h^2)$ — diviser $h$ par 2 divise l'erreur par 4.

La méthode des trapèzes approche $f$ par des segments entre les points et calcule l'aire des trapèzes ainsi formés :

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{2}\left[f(a) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(b)\right]$

Erreur locale sur un sous-intervalle $[x_i, x_{i+1}]$ :

$E_{\text{local}} = -\frac{h^3}{12} f''(\xi_i) \quad \text{pour un certain } \xi_i \in [x_i, x_{i+1}]$

Erreur globale sur $[a,b]$ : en sommant les $n$ contributions locales avec $n = (b-a)/h$ :

$E_{\text{global}} = -\frac{(b-a)}{12}\, h^2\, f''(\xi) = O(h^2)$

où $\xi \in [a,b]$ est un point intermédiaire.

Interprétation : l'erreur globale est proportionnelle à $h^2$. Doubler $n$ (diviser $h$ par 2) divise l'erreur par 4. La constante dépend de la courbure de $f$ via $f''$ : pour une fonction peu courbée (petite $|f''|$), les trapèzes sont très précis.

Comparaison avec le point médian : les deux méthodes sont d'ordre 2, mais le point médian a une constante d'erreur deux fois plus petite que le trapèze. Une combinaison pondérée $\frac{2}{3}$ milieu $+ \frac{1}{3}$ trapèze élimine l'erreur en $h^2$ — c'est l'idée de Simpson.

La méthode de Simpson approche $f$ par des paraboles (polynômes de degré 2) sur chaque paire de sous-intervalles. Il faut $n$ pair.

$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\left[f(x_0) + 4f(x_1) + 2f(x_2) + 4f(x_3) + \cdots + 4f(x_{n-1}) + f(x_n)\right]$

Motif des coefficients : $1,\, 4,\, 2,\, 4,\, 2,\, \ldots,\, 4,\, 2,\, 4,\, 1$

Erreur globale :

$E_{\text{Simpson}} = -\frac{(b-a)}{180}\, h^4\, f^{(4)}(\xi) = O(h^4)$

Diviser $h$ par 2 divise l'erreur par $\mathbf{16}$ — bien supérieur aux trapèzes.

Propriété remarquable : Simpson est exact pour les polynômes de degré $\leq 3$ (pas seulement $\leq 2$). Bien qu'on approche $f$ par des paraboles (degré 2), la symétrie de la formule annule aussi l'erreur pour les termes cubiques.

Lien avec trapèzes et milieu :

$\text{Simpson} = \frac{1}{3}\,\text{Trapèzes} + \frac{2}{3}\,\text{Milieu}$

Cette combinaison élimine l'erreur en $h^2$ commune aux deux méthodes d'ordre 2, d'où l'ordre 4 de Simpson.

Les méthodes précédentes (trapèzes, Simpson) utilisent des nœuds uniformément espacés sur $[a,b]$. La quadrature de Gauss choisit à la fois les nœuds $x_i$ et les poids $w_i$ de façon optimale pour maximiser l'ordre de précision avec un nombre fixé d'évaluations.

Formule générale de Gauss-Legendre sur $[-1,1]$ :

$\int_{-1}^{1} f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{k} w_i\, f(x_i)$

(tout intervalle $[a,b]$ se ramène à $[-1,1]$ par le changement de variable $x = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t$)

Théorème clé : la quadrature de Gauss-Legendre à $k$ points est exacte pour les polynômes de degré $\leq 2k-1$.

| Points $k$ | Exactitude | Nœuds sur $[-1,1]$ | Poids | |-----------|-----------|---------------------|-------| | 1 | degré $\leq 1$ | $0$ | $2$ | | 2 | degré $\leq 3$ | $\pm 1/\sqrt{3}$ | $1, 1$ | | 3 | degré $\leq 5$ | $0,\, \pm\sqrt{3/5}$ | $8/9,\, 5/9,\, 5/9$ |

Avantages sur les grilles uniformes :

• Précision maximale pour un nombre fixé d'évaluations de $f$
• Erreur décroît exponentiellement pour les fonctions analytiques (convergence spectrale)
• Indispensable en éléments finis, quadrature adaptative, calcul scientifique haute précision

Inconvénient : les nœuds de Gauss ne coïncident généralement pas avec des points de mesure réguliers — inutilisable si $f$ n'est connue qu'à des abscisses imposées de l'extérieur.