Tangente

Pour tout angle $\theta$ tel que $\cos\theta \neq 0$, la tangente est définie par :

$\boxed{\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}}$

Domaine : $\tan$ n'est pas définie là où $\cos\theta = 0$, c'est-à-dire pour $\theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$.

Interprétation géométrique : si $M = (\cos\theta, \sin\theta)$ est sur le cercle unité, la droite $OM$ a une pente égale à $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$.

Relation fondamentale (issue de $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$) : $\boxed{1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}}$

Preuve : diviser $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ par $\cos^2\theta$ membre à membre.

Propriétés algébriques :

• Impaire : $\tan(-\theta) = -\tan\theta$
• Périodique de période $\pi$ : $\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$
• Monotone croissante sur chaque intervalle $\left]-\frac{\pi}{2}+k\pi,\, \frac{\pi}{2}+k\pi\right[$

| $\theta$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | |---|---|---|---|---|---| | $\tan\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | indéfini |

Comportement aux asymptotes : les droites $\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi$ sont des asymptotes verticales.

• Quand $\theta \to \frac{\pi}{2}^-$ : $\tan\theta \to +\infty$
• Quand $\theta \to \frac{\pi}{2}^+$ : $\tan\theta \to -\infty$

Formules utiles : $\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$ et $\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \dfrac{1}{\tan\theta}$ (pour $\tan\theta \neq 0$).

Résoudre $\tan\theta = k$ pour $k \in \mathbb{R}$ :

$\tan\theta = k \Longleftrightarrow \theta = \arctan(k) + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Contrairement à sin et cos, il y a une seule famille de solutions (période $\pi$).

Valeurs d'arctan à connaître : $\arctan(0) = 0 \qquad \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \qquad \arctan(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3} \qquad \arctan\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$

Propriétés d'arctan :

• Domaine : $\arctan : \mathbb{R} \to \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$
• Impaire : $\arctan(-x) = -\arctan(x)$
• Limites : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\arctan(x) = \frac{\pi}{2}$, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\arctan(x) = -\frac{\pi}{2}$
• Identité : pour $x > 0$, $\arctan(x) + \arctan\!\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$
• Dérivée : $(\arctan x)' = \dfrac{1}{1+x^2}$

Pente et angle : si une droite forme un angle $\alpha$ avec l'axe des abscisses, sa pente $m$ vérifie :

$\boxed{m = \tan\alpha}$

Réciproquement : connaissant la pente $m$, l'angle d'inclinaison est $\alpha = \arctan(m) \in \left]-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right[$.

Angle entre deux droites : si deux droites ont des pentes $m_1$ et $m_2$ (avec $m_1 m_2 \neq -1$), l'angle $\phi$ entre elles vérifie :

$\tan\phi = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$

Cette formule découle de la formule de soustraction : $\tan(\alpha_1 - \alpha_2) = \dfrac{\tan\alpha_1 - \tan\alpha_2}{1 + \tan\alpha_1\tan\alpha_2}$.

Cas perpendiculaire : $m_1 m_2 = -1$ (le dénominateur s'annule, angle $= \frac{\pi}{2}$).

La tangente hyperbolique est définie par analogie avec tan, à partir des fonctions hyperboliques :

$\tanh(x) = \frac{\sinh(x)}{\cosh(x)} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$

Propriétés :

• Domaine : $\mathbb{R}$, image : $\,]-1, 1[$
• Impaire : $\tanh(-x) = -\tanh(x)$
• Limites : $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\tanh(x) = \pm 1$ (asymptotes horizontales $y = \pm 1$)
• Dérivée : $\tanh'(x) = 1 - \tanh^2(x) = \dfrac{1}{\cosh^2(x)}$

Comparaison tan vs tanh :

| Propriété | $\tan$ | $\tanh$ | |---|---|---| | Image | $\mathbb{R}$ | $\,]-1,1[$ | | Asymptotes | verticales | horizontales | | Périodique | oui ($\pi$) | non | | Utilisation | géométrie, pentes | réseaux de neurones, physique |

Application en IA : $\tanh$ est une fonction d'activation classique dans les réseaux de neurones car elle "écrase" les valeurs dans $]-1,1[$, centrée en $0$.