Sin et cos — définitions

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O(0,0)$ et de rayon 1. Pour un angle $\theta$ (en radians), dans le sens antihoraire :

$\cos\theta = \text{abscisse de } M \qquad \sin\theta = \text{ordonnée de } M$

Conséquences immédiates : $-1 \leq \cos\theta \leq 1$ et $-1 \leq \sin\theta \leq 1$.

Relation fondamentale (Pythagore) : $\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$

Valeurs remarquables :

| $\theta$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | |---|---|---|---|---|---|---| | $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | $-1$ | | $\sin\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ |

Moyen mnémotechnique : sin vaut $\dfrac{\sqrt{0}}{2}, \dfrac{\sqrt{1}}{2}, \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \dfrac{\sqrt{4}}{2}$ pour $\theta = 0, \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}$.

Périodicité : période $2\pi$ pour sin et cos : $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta \qquad \sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$

Parité : $\cos(-\theta) = \cos\theta \quad \text{(paire)} \qquad \sin(-\theta) = -\sin\theta \quad \text{(impaire)}$

Symétries complètes : $\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta \qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$ $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta$ $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$

Signes par quadrant :

| Quadrant | $\theta \in$ | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | |---|---|---|---| | I | $[0, \pi/2]$ | $+$ | $+$ | | II | $[\pi/2, \pi]$ | $-$ | $+$ | | III | $[\pi, 3\pi/2]$ | $-$ | $-$ | | IV | $[3\pi/2, 2\pi]$ | $+$ | $-$ |

Résolution d'équations : $\cos\theta = a \Longleftrightarrow \theta = \pm \arccos(a) + 2k\pi$ $\sin\theta = a \Longleftrightarrow \theta = \arcsin(a) + 2k\pi \text{ ou } \theta = \pi - \arcsin(a) + 2k\pi$

$\boxed{(\sin x)' = \cos x} \qquad \boxed{(\cos x)' = -\sin x}$

Cycle des dérivées (ordre 4) : $\sin \xrightarrow{'} \cos \xrightarrow{'} -\sin \xrightarrow{'} -\cos \xrightarrow{'} \sin$

Règle de chaîne : $(\sin f(x))' = f'(x)\cos(f(x)) \qquad (\cos f(x))' = -f'(x)\sin(f(x))$

Primitives : $\int \sin x\,dx = -\cos x + C \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C$

La formule d'Euler est l'une des plus importantes en mathématiques :

$\boxed{e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta}$

Le point $e^{i\theta}$ est sur le cercle unité du plan complexe, à l'angle $\theta$. Son module vaut 1.

Formules de Moivre (inverses d'Euler) : $\cos\theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \qquad \sin\theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}$

Identité d'Euler : $e^{i\pi} + 1 = 0$ (relie $e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$).

Justification des formules d'addition : $e^{i(a+b)} = e^{ia}\cdot e^{ib}$ donne : $\cos(a+b)+i\sin(a+b) = (\cos a+i\sin a)(\cos b+i\sin b)$

En développant et séparant partie réelle et imaginaire, on retrouve exactement les formules d'addition.

Un signal sinusoïdal a la forme générale : $s(t) = A\sin(\omega t + \varphi) \quad \text{ou} \quad s(t) = A\cos(\omega t + \varphi)$

• $A > 0$ : amplitude (valeur maximale)
• $\omega > 0$ : pulsation (rad/s), $\omega = 2\pi f$
• $f = 1/T$ : fréquence (Hz), $T$ : période (s)
• $\varphi$ : déphasage initial (rad)

Phaseurs : associer à $A\cos(\omega t + \varphi)$ le complexe $\underline{S} = Ae^{i\varphi}$. La somme de deux phaseurs de même fréquence donne le phaseur résultant — bien plus simple que développer à la main.

Valeur efficace : pour $s(t) = A\cos(\omega t)$, la valeur efficace est $S_{\text{eff}} = A/\sqrt{2}$.