MathQuest — Maths pour l'ingénieur

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Pourquoi apprendre ça ?

Les identités trigonométriques sont des outils de transformation : elles permettent de simplifier des expressions complexes, de résoudre des équations et de calculer des intégrales. En physique des ondes, en traitement du signal, en mécanique quantique, on les utilise en permanence pour transformer des produits en sommes ou vice-versa.

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Analogie

Les identités trigonométriques sont comme un dictionnaire de traduction : $\sin^2 + \cos^2 = 1$ est le "je suis" de la trig, les formules d'addition sont les "règles de grammaire" pour combiner des angles. Les formules somme-produit jouent le rôle de la "conjugaison" : elles transforment une somme difficile à intégrer en un produit plus simple, et vice-versa.

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Théorie

Identité de Pythagore : $\boxed{\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1}$

Variantes : $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ et $\cot^2\theta + 1 = \dfrac{1}{\sin^2\theta}$ .

Formules d'addition : $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b \qquad \cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$ $\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \qquad \sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$

Formules de duplication ( $b = a$ ) : $\boxed{\sin(2a) = 2\sin a \cos a} \qquad \boxed{\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a = 2\cos^2 a - 1 = 1 - 2\sin^2 a}$

Linéarisation (inverses de la duplication) : $\cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \qquad \sin^2 a = \frac{1 - \cos(2a)}{2}$

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Calculer cos(75°) exactement

$\cos(75°) = \cos(45° + 30°) = \cos 45°\cos 30° - \sin 45°\sin 30°$

$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

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Checkpoint

Si et , quelle est la valeur de ?

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Théorie

Les formules du demi-angle s'obtiennent depuis la linéarisation en posant $a = \theta/2$ :

$\cos^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 + \cos\theta}{2} \qquad \sin^2\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{2}$

En prenant la racine (signe selon le quadrant de $\theta/2$ ) :

$\boxed{\cos\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}} \qquad \boxed{\sin\frac{\theta}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}}$

Et donc : $\boxed{\tan\frac{\theta}{2} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}}$

Substitution de Weierstrass : en posant $t = \tan\dfrac{\theta}{2}$ , toutes les fonctions trig de $\theta$ s'expriment rationnellement en $t$ :

$\sin\theta = \frac{2t}{1+t^2} \qquad \cos\theta = \frac{1-t^2}{1+t^2} \qquad \tan\theta = \frac{2t}{1-t^2}$

Cette substitution est un outil puissant pour calculer des intégrales de fonctions rationnelles en sin et cos.

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Calculer sin(π/8) exactement

On pose $\theta = \dfrac{\pi}{4}$ , donc $\dfrac{\theta}{2} = \dfrac{\pi}{8}$ .

$\sin^2\!\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{1 - \cos(\pi/4)}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$

Comme $\dfrac{\pi}{8} \in \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right]$ , on a $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{8}\right) > 0$ , donc :

$\sin\!\left(\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$

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Piège — signe dans les formules du demi-angle

Les formules donnent $\pm\sqrt{\ldots}$ : le signe dépend du quadrant dans lequel se trouve $\theta/2$ , pas de $\theta$ . Toujours préciser l'intervalle de $\theta$ avant de lever l'ambiguïté du $\pm$ .

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Checkpoint

Quelle est la valeur de si et ?

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Théorie

Ces formules transforment une somme de sinus ou cosinus en un produit, très utiles pour résoudre des équations et calculer des intégrales.

Somme → produit : $\boxed{\cos p + \cos q = 2\cos\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{p-q}{2}\right)}$ $\boxed{\cos p - \cos q = -2\sin\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\!\left(\frac{p-q}{2}\right)}$ $\boxed{\sin p + \sin q = 2\sin\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{p-q}{2}\right)}$ $\boxed{\sin p - \sin q = 2\cos\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\sin\!\left(\frac{p-q}{2}\right)}$

Produit → somme (sens inverse, utile en intégration) : $\cos a \cos b = \frac{\cos(a-b) + \cos(a+b)}{2} \qquad \sin a \sin b = \frac{\cos(a-b) - \cos(a+b)}{2}$ $\sin a \cos b = \frac{\sin(a+b) + \sin(a-b)}{2}$

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Résoudre cos(3θ) + cos(θ) = 0

Factoriser : $\cos(3\theta) + \cos(\theta) = 2\cos(2\theta)\cos(\theta) = 0$

Solutions :

$\cos(2\theta) = 0 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2}$
$\cos(\theta) = 0 \Rightarrow \theta = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$

Le deuxième ensemble est inclus dans le premier, donc $S = \left\{\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2},\; k \in \mathbb{Z}\right\}$ .

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Théorie

La linéarisation remplace les puissances de sin/cos par des combinaisons linéaires d'angles multiples, rendant l'intégration directe.

Intégrales classiques : $\int \cos^2(x)\,dx = \int \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C$

$\int \sin^2(x)\,dx = \int \frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C$

Pour les puissances élevées, itérer : $\sin^4 x = \left(\dfrac{1-\cos 2x}{2}\right)^2$ , puis linéariser $\cos^2(2x)$ à nouveau.

Intégrale produit via produit → somme (évite l'intégration par parties) : $\int \sin(3x)\cos(x)\,dx = \int \frac{\sin(4x)+\sin(2x)}{2}\,dx = -\frac{\cos(4x)}{8} - \frac{\cos(2x)}{4} + C$

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Calculer ∫sin²(x)cos²(x) dx

Linéariser : $\sin^2(x)\cos^2(x) = \dfrac{\sin^2(2x)}{4} = \dfrac{1-\cos(4x)}{8}$

$\int \sin^2(x)\cos^2(x)\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\sin(4x)}{32} + C$

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Checkpoint

Quelle est la forme linéarisée de utile pour intégrer ?

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Checkpoint

Quelle formule somme→produit factorise ?

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À retenir

Identité fondamentale : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ; formules d'addition et de duplication
Demi-angle : $\cos(\theta/2) = \pm\sqrt{(1+\cos\theta)/2}$ , $\sin(\theta/2) = \pm\sqrt{(1-\cos\theta)/2}$ (signe selon quadrant de $\theta/2$ )
Somme → produit : $\sin p + \sin q = 2\sin\!\left(\frac{p+q}{2}\right)\cos\!\left(\frac{p-q}{2}\right)$ et formules analogues
Linéarisation : $\cos^2 a = \frac{1+\cos 2a}{2}$ et $\sin^2 a = \frac{1-\cos 2a}{2}$ — clé pour intégrer les puissances
Produit → somme : $\sin a\cos b = \frac{\sin(a+b)+\sin(a-b)}{2}$ — transforme un produit en somme intégrable directement

Identités trigonométriques

L'identité fondamentale et formules d'addition

Formules du demi-angle

Formules de factorisation : somme → produit

Applications en intégration — linéarisation