Cercle trigonométrique

Un angle peut se mesurer en degrés (tour complet = $360°$) ou en radians (tour complet = $2\pi$).

Définition du radian : un angle de 1 radian intercepte un arc de longueur égale au rayon sur un cercle de rayon $r$. C'est la mesure naturelle qui simplifie toutes les formules d'analyse et de physique.

Formules de conversion : $\theta_{\text{rad}} = \theta_{\text{deg}} \times \frac{\pi}{180}, \qquad \theta_{\text{deg}} = \theta_{\text{rad}} \times \frac{180}{\pi}$

Correspondances fondamentales à connaître :

| Degrés | $0°$ | $30°$ | $45°$ | $60°$ | $90°$ | $180°$ | $270°$ | $360°$ | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | Radians | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\dfrac{3\pi}{2}$ | $2\pi$ |

Longueur d'arc : sur un cercle de rayon $r$, un angle $\theta$ (en radians) correspond à un arc de longueur $\ell = r\theta$.

Le cercle trigonométrique (ou cercle unité) est le cercle de centre $O = (0,0)$ et de rayon $1$.

Son équation cartésienne : $x^2 + y^2 = 1$.

Pour tout angle $\theta$ (en radians), mesuré depuis l'axe des abscisses positives dans le sens antihoraire, le point $M$ sur le cercle a pour coordonnées : $M = (\cos\theta,\; \sin\theta)$

Définitions :

• $\cos\theta$ = abscisse (position horizontale) du point $M$
• $\sin\theta$ = ordonnée (position verticale) du point $M$

Propriétés fondamentales :

• Valeurs bornées : $-1 \leq \cos\theta \leq 1$ et $-1 \leq \sin\theta \leq 1$
• Identité de Pythagore : $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$
• Périodicité : $\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$ et $\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$
• Parité : $\cos$ est paire ($\cos(-\theta) = \cos\theta$), $\sin$ est impaire ($\sin(-\theta) = -\sin\theta$)

Signes par quadrant :

| Quadrant | $\cos$ | $\sin$ | |---|---|---| | 1er ($0$ à $\pi/2$) | $+$ | $+$ | | 2e ($\pi/2$ à $\pi$) | $-$ | $+$ | | 3e ($\pi$ à $3\pi/2$) | $-$ | $-$ | | 4e ($3\pi/2$ à $2\pi$) | $+$ | $-$ |

Les valeurs exactes de cos et sin pour les angles fondamentaux :

| $\theta$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | |---|---|---|---|---|---| | $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ | | $\sin\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |

Astuce mémorisation : pour $\sin(0), \sin(\pi/6), \sin(\pi/4), \sin(\pi/3), \sin(\pi/2)$, penser à $\dfrac{\sqrt{k}}{2}$ pour $k = 0, 1, 2, 3, 4$ : $0,\quad \frac{1}{2},\quad \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \frac{\sqrt{3}}{2},\quad 1$

Pour les autres quadrants, utiliser les formules de symétrie : $\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta, \qquad \sin(\pi - \theta) = \sin\theta \quad \text{(2e quadrant)}$ $\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta, \qquad \sin(\pi + \theta) = -\sin\theta \quad \text{(3e quadrant)}$ $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta, \qquad \sin(2\pi - \theta) = -\sin\theta \quad \text{(4e quadrant)}$

La tangente est définie par : $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}, \qquad \cos\theta \neq 0$

Géométriquement, $\tan\theta$ représente la pente de la droite passant par $O$ et le point $M = (\cos\theta, \sin\theta)$.

Valeurs remarquables de tan :

| $\theta$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | |---|---|---|---|---|---| | $\tan\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | indéfinie |

Identité fondamentale : pour tout $\theta$, $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$

Identités dérivées : $1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta}, \qquad \cos\theta = \pm\sqrt{1 - \sin^2\theta}$

Périodicité : $\tan(\theta + \pi) = \tan\theta$ — période $\pi$, deux fois plus courte que sin et cos.

Longueur d'arc et aire de secteur : sur un cercle de rayon $R$, un angle $\theta$ (en radians) détermine : $\ell = R\theta \quad \text{(longueur d'arc)} \qquad \mathcal{A} = \frac{1}{2}R^2\theta \quad \text{(aire du secteur)}$

Formules de complémentarité : pour tout $\theta$, $\cos\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta, \qquad \sin\!\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$

Valeurs pour 15° et 75° via les formules de différence : $\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

$\cos 15° = \cos(45°-30°) = \cos 45° \cos 30° + \sin 45° \sin 30° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$

$\sin 15° = \sin(45°-30°) = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

Par complémentarité : $\cos 75° = \sin 15° = \dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, $\sin 75° = \cos 15° = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Valeurs approchées utiles :

| Angle | $\sin$ (approx.) | $\cos$ (approx.) | |-------|-----------------|-----------------| | $15°$ | $0.259$ | $0.966$ | | $30°$ | $0.500$ | $0.866$ | | $45°$ | $0.707$ | $0.707$ | | $60°$ | $0.866$ | $0.500$ | | $75°$ | $0.966$ | $0.259$ | | $1$ rad $\approx 57.3°$ | $0.841$ | $0.540$ |

Équation $\sin x = k$ avec $k \in [-1, 1]$ — solutions générales : $x = \arcsin(k) + 2n\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi - \arcsin(k) + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Équation $\cos x = k$ avec $k \in [-1, 1]$ : $x = \pm\arccos(k) + 2n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Signes de sin et cos sur $[0, 2\pi]$ :

| Intervalle | $\sin$ | $\cos$ | |-----------|--------|--------| | $[0, \pi/2]$ | $\geq 0$ | $\geq 0$ | | $[\pi/2, \pi]$ | $\geq 0$ | $\leq 0$ | | $[\pi, 3\pi/2]$ | $\leq 0$ | $\leq 0$ | | $[3\pi/2, 2\pi]$ | $\leq 0$ | $\geq 0$ |

Méthode : trouver la valeur principale $\arcsin(k)$ ou $\arccos(k)$, puis utiliser les symétries pour obtenir toutes les solutions dans l'intervalle demandé.