Vecteurs — bases

Un vecteur dans $\mathbb{R}^2$ est un couple ordonné de nombres réels : $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}$

Dans $\mathbb{R}^3$ : $\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{pmatrix}$.

Vecteur nul : $\vec{0} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ — le seul vecteur sans direction définie.

Vecteur entre deux points : Si $A = (x_A, y_A)$ et $B = (x_B, y_B)$, alors : $\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}$

Norme (longueur) d'un vecteur : $\|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} \quad \text{(dans } \mathbb{R}^2\text{)}, \qquad \|\vec{v}\| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2} \quad \text{(dans } \mathbb{R}^3\text{)}$

Vecteur unitaire : vecteur de norme 1. On normalise $\vec{v}$ par : $\hat{v} = \frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|}, \quad \|\vec{v}\| \neq 0$

Addition de vecteurs : composante par composante $\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} u_x + v_x \\ u_y + v_y \end{pmatrix}$

Propriétés : commutativité ($\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$), associativité, élément neutre $\vec{0}$.

Multiplication par un scalaire $k \in \mathbb{R}$ : $k\,\vec{v} = \begin{pmatrix} k\,v_x \\ k\,v_y \end{pmatrix}$

Si $k > 0$ : même direction. Si $k < 0$ : direction opposée. Si $k = 0$ : vecteur nul.

Soustraction : $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-1)\,\vec{v} = \begin{pmatrix} u_x - v_x \\ u_y - v_y \end{pmatrix}$

Combinaison linéaire : $\alpha\,\vec{u} + \beta\,\vec{v}$ avec $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$.

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ dans $\mathbb{R}^n$ est le nombre réel : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \sum_{i=1}^n u_i\,v_i = u_x v_x + u_y v_y \quad \text{(dans } \mathbb{R}^2\text{)}$

Formule géométrique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\theta$

où $\theta \in [0, \pi]$ est l'angle entre les deux vecteurs.

Conséquences importantes :

• Angle entre deux vecteurs : $\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$

• Vecteurs orthogonaux : $\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$

• Norme au carré : $\|\vec{v}\|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$

Projection orthogonale de $\vec{u}$ sur la direction de $\vec{v}$ : $\mathrm{proj}_{\vec{v}}\,\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\,\vec{v}$

La longueur de cette projection (composante scalaire) vaut $\dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}$.

Une base de $\mathbb{R}^2$ est un ensemble de deux vecteurs non colinéaires qui permettent d'exprimer tout vecteur du plan comme combinaison linéaire.

Base canonique de $\mathbb{R}^2$ : $\vec{e}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \vec{e}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Tout vecteur s'écrit : $\vec{v} = v_x\,\vec{e}_1 + v_y\,\vec{e}_2$.

Une base est orthonormée (BON) si :

• Les vecteurs sont orthogonaux deux à deux : $\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = 0$ pour $i \neq j$
• Chaque vecteur est unitaire : $\|\vec{e}_i\| = 1$

Ces deux conditions se résument : $\vec{e}_i \cdot \vec{e}_j = \delta_{ij}$ (symbole de Kronecker : 1 si $i=j$, 0 sinon).

Avantage d'une BON : les coordonnées de $\vec{v}$ dans la base $(\vec{e}_1, \vec{e}_2)$ s'obtiennent directement par projection : $v_i = \vec{v} \cdot \vec{e}_i$

Le produit vectoriel de deux vecteurs $\vec{u} = (u_x, u_y, u_z)$ et $\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)$ dans $\mathbb{R}^3$ est le vecteur :

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_y v_z - u_z v_y \\ u_z v_x - u_x v_z \\ u_x v_y - u_y v_x \end{pmatrix}$

Norme du produit vectoriel : $\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\sin\theta$

où $\theta \in [0, \pi]$ est l'angle entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Interprétation géométrique : $\|\vec{u} \times \vec{v}\|$ est l'aire du parallélogramme formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$. L'aire du triangle correspondant vaut $\dfrac{1}{2}\|\vec{u} \times \vec{v}\|$.

Orthogonalité : $\vec{u} \times \vec{v}$ est perpendiculaire à la fois à $\vec{u}$ et à $\vec{v}$ : $(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{u} = 0 \qquad \text{et} \qquad (\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{v} = 0$

Règle de la main droite : pointer l'index vers $\vec{u}$, le majeur vers $\vec{v}$, le pouce pointe dans la direction de $\vec{u} \times \vec{v}$.

Propriétés :

• Antisymétrie : $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$
• Distributivité : $\vec{u} \times (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \times \vec{v} + \vec{u} \times \vec{w}$
• Vecteurs colinéaires : $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \iff \vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires (en particulier $\vec{u} \times \vec{u} = \vec{0}$)