MathQuest — Maths pour l'ingénieur

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Pourquoi apprendre ça ?

Le triangle est la forme géométrique la plus fondamentale — toute surface peut être décomposée en triangles (triangulation). Ses quatre points remarquables — centre de gravité, orthocentre, circumcentre, incentre — concentrent les propriétés clés de la figure et se retrouvent en architecture, physique, infographie et géodésie.

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Analogie

Un triangle est comme un pays avec quatre "capitales" : le centre de gravité $G$ est le centre d'équilibre physique (pose un triangle sur ce point, il ne bascule pas), l'orthocentre $H$ est l'intersection des altitudes, le circumcentre $O$ est équidistant des trois sommets, et l'incentre $I$ est équidistant des trois côtés. Chacun joue un rôle distinct.

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Théorie

Classification par les côtés :

Équilatéral : $a = b = c$ → trois angles de 60°
Isocèle : deux côtés égaux → deux angles à la base égaux
Scalène : aucun côté égal

Classification par les angles : Rectangle (un angle 90°), Acutangle (tous < 90°), Obtusangle (un > 90°).

Somme des angles : $\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180°$

Inégalité triangulaire : $|a - b| < c < a + b$

Théorème de Pythagore (triangle rectangle en $C$ ) : $\boxed{a^2 + b^2 = c^2}$

Trigonométrie (SOH-CAH-TOA) : $\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}$

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Pythagore et trigonométrie

Triangle rectangle, hypoténuse $= 10$ cm, angle aigu $= 30°$ .

Côté opposé : $b = 10\sin(30°) = 5$ cm
Côté adjacent : $a = 10\cos(30°) = 5\sqrt{3}$ cm
Vérification : $75 + 25 = 100 = 10^2$ ✓

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Checkpoint

Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base valent chacun 40°. Quel est l'angle au sommet ?

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Théorie

Énoncé : si $(MN) \parallel (BC)$ avec $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ , alors :

$\boxed{\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}}$

Forme équivalente : $\dfrac{AM}{MB} = \dfrac{AN}{NC}$

Réciproque : si $M \in [AB]$ , $N \in [AC]$ et $\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}$ , alors $(MN) \parallel (BC)$ .

Conséquence sur les aires : si $k = AM/AB$ , alors $\text{Aire}(AMN) = k^2 \cdot \text{Aire}(ABC)$ .

Thalès dans le cercle : si $[AB]$ est un diamètre et $C$ un point du cercle distinct de $A$ et $B$ , alors $\angle ACB = 90°$ .

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Application de Thalès

Triangle $ABC$ , $AB = 8$ , $AC = 6$ . Droite parallèle à $BC$ coupe $[AB]$ en $M$ avec $AM = 4$ .

$\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} \Rightarrow \frac{4}{8} = \frac{AN}{6} \Rightarrow AN = 3$

L'aire du triangle $AMN$ vaut $(4/8)^2 = 1/4$ de celle de $ABC$ .

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Piège — réciproque de Thalès

La réciproque exige $M \in [AB]$ et $N \in [AC]$ (du même côté de $A$ ). Si $M$ est sur le prolongement, le résultat change. Thalès ne s'applique que si le parallélisme est vérifié au préalable.

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Théorie

Médianes et centre de gravité $G$ : Une médiane relie un sommet au milieu du côté opposé. Les trois médianes se coupent au centroïde $G$ , qui divise chaque médiane dans le rapport $2:1$ depuis le sommet.

En coordonnées : $\boxed{G = \left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3},\; \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)}$

Hauteurs et orthocentre $H$ : Une hauteur est la perpendiculaire d'un sommet au côté opposé. Les trois hauteurs se coupent en l'orthocentre $H$ .

Triangle acutangle : $H$ intérieur
Triangle rectangle : $H$ au sommet de l'angle droit
Triangle obtusangle : $H$ extérieur

Droite d'Euler : $O$ , $G$ et $H$ sont alignés, avec $\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$ .

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Calculer le centre de gravité

Triangle $A(1, 0)$ , $B(5, 0)$ , $C(3, 6)$ .

$G = \left(\frac{1+5+3}{3},\, \frac{0+0+6}{3}\right) = (3, 2)$

Vérification : médiane de $A$ vers le milieu de $BC = (4, 3)$ — le point $A + \frac{2}{3}[(4,3)-(1,0)] = (3,2)$ ✓

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Théorie

Circumcentre $O$ (intersection des médiatrices) : équidistant des trois sommets. $OA = OB = OC = R \quad \text{(rayon du cercle circonscrit)}$

Loi des sinus : $\boxed{\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R}$

Incentre $I$ (intersection des bissectrices) : équidistant des trois côtés. $d(I, BC) = d(I, CA) = d(I, AB) = r \quad \text{(rayon du cercle inscrit)}$

Rayon inscrit : $\boxed{r = \dfrac{\text{Aire}}{s}}$ où $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ est le demi-périmètre.

Tableau récapitulatif :

| Point | Construit par | Propriété clé | |---|---|---| | $G$ | médianes | équilibre, rapport 2:1 | | $H$ | hauteurs | droite d'Euler : $OH = 3OG$ | | $O$ | médiatrices | $OA = OB = OC = R$ | | $I$ | bissectrices | $d(I, \text{côtés}) = r$ |

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Rayon du cercle inscrit dans un 3-4-5

Triangle $a = 3$ , $b = 4$ , $c = 5$ (rectangle).

Aire $= \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$
Demi-périmètre $s = 6$
Rayon inscrit $r = 6/6 = 1$
Rayon circonscrit $R = c/2 = 2{,}5$ (hypoténuse = diamètre)

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Checkpoint

Dans un triangle rectangle, si une cathète mesure 6 et l'hypoténuse mesure 10, quelle est la longueur de l'autre cathète ?

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Checkpoint

Le centre de gravité d'un triangle de sommets , , est :

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Checkpoint

Quel point du triangle est l'intersection des trois médiatrices ?

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À retenir

Somme des angles : $180°$ ; Pythagore : $a^2+b^2=c^2$ ; SOH-CAH-TOA
Thalès : $(MN)\parallel(BC) \Rightarrow AM/AB = AN/AC = MN/BC$ ; aires dans le rapport $k^2$
Centre de gravité : $G = \left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3}, \frac{y_A+y_B+y_C}{3}\right)$ , rapport 2:1 sur les médianes
Droite d'Euler : $O$ , $G$ , $H$ alignés avec $\overrightarrow{OH} = 3\overrightarrow{OG}$
Circumcentre $O$ : médiatrices, $R = a/(2\sin A)$ ; Incentre $I$ : bissectrices, $r = \text{Aire}/s$

Triangles — propriétés

Classification et propriétés fondamentales

Théorème de Thalès — formule complète

Centre de gravité, hauteurs et orthocentre

Cercle inscrit et cercle circonscrit