MathQuest — Maths pour l'ingénieur

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Pourquoi apprendre ça ?

Les transformations géométriques sont partout en infographie : quand un personnage de jeu vidéo se déplace (translation), tourne (rotation), se voit dans un miroir (symétrie), ou change de taille (homothétie). Comprendre ces transformations, c'est comprendre les bases de toute animation 2D et 3D.

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Analogie

Imagine une feuille de papier avec un dessin. Une transformation plane, c'est comme déplacer, tourner, retourner ou agrandir cette feuille — sans déchirer le dessin. La forme reste "la même" mais sa position ou sa taille change.

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Théorie

Une translation de vecteur $\vec{v} = (a, b)$ est la transformation qui, à tout point $M(x, y)$ , associe le point $M'(x', y')$ tel que :

$\overrightarrow{MM'} = \vec{v} \qquad \Longleftrightarrow \qquad \begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}$

Propriétés :

Conserve les distances, les angles, les surfaces (isométrie directe)
Conserve l'orientation (sens des figures)
L'image d'une droite est une droite parallèle
L'image d'un cercle est un cercle de même rayon

Une translation n'a aucun point fixe (sauf si $\vec{v} = \vec{0}$ ).

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Translater un point

Le point $A(3, -1)$ est translaté par $\vec{v} = (-2, 4)$ .

$A'(3 + (-2),\; -1 + 4) = A'(1, 3)$

Si on translate aussi $B(0, 2)$ : $B'(-2, 6)$ .

Vérification : $\overrightarrow{AB} = (-3, 3)$ et $\overrightarrow{A'B'} = (-3, 3)$ — même vecteur, les segments sont parallèles et de même longueur. ✓

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Checkpoint

Le point est translaté par . Quelles sont les coordonnées de ?

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Théorie

Une rotation de centre $\Omega(a, b)$ et d'angle $\theta$ (en radians, sens antihoraire) est la transformation qui, à tout point $M$ , associe le point $M'$ tel que :

$\Omega M' = \Omega M$ (même distance au centre)
L'angle orienté $(\overrightarrow{\Omega M}, \overrightarrow{\Omega M'}) = \theta$

Formules en coordonnées (rotation centrée à l'origine) : $\begin{cases} x' = x\cos\theta - y\sin\theta \\ y' = x\sin\theta + y\cos\theta \end{cases}$

Propriétés :

Isométrie directe : conserve distances, angles, orientation
Le seul point fixe est le centre $\Omega$
L'image d'un cercle centré en $\Omega$ est ce même cercle

Angles particuliers :

$\theta = 90°$ : $(x,y) \to (-y, x)$
$\theta = 180°$ : $(x,y) \to (-x, -y)$ (symétrie centrale)
$\theta = 270°$ : $(x,y) \to (y, -x)$

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Rotation de 90° autour de l'origine

Trouver l'image de $A(3, 1)$ par la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$ .

Application de la formule ( $\cos 90° = 0$ , $\sin 90° = 1$ ) : $x' = 3 \times 0 - 1 \times 1 = -1$ $y' = 3 \times 1 + 1 \times 0 = 3$

$A' = (-1, 3)$ .

Vérification : $OA = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ et $OA' = \sqrt{1+9} = \sqrt{10}$ ✓ (même distance).

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Théorie

Symétrie axiale par rapport à un axe $\Delta$ : transformation qui, à tout point $M$ , associe le point $M'$ tel que $\Delta$ est la médiatrice de $[MM']$ .

Cas particuliers fréquents (axes coordonnés) : $\text{Axe } Ox : (x, y) \longmapsto (x, -y)$ $\text{Axe } Oy : (x, y) \longmapsto (-x, y)$ $\text{Axe } y = x : (x, y) \longmapsto (y, x)$

Propriétés : isométrie indirecte (conserve les distances mais inverse l'orientation — une figure et son image sont "en miroir").

Symétrie centrale de centre $\Omega(a, b)$ : transformation qui, à $M(x, y)$ , associe $M'$ tel que $\Omega$ est le milieu de $[MM']$ : $x' = 2a - x \qquad y' = 2b - y$

La symétrie centrale par rapport à l'origine est : $(x, y) \mapsto (-x, -y)$ . C'est aussi la rotation de 180°.

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Symétrie axiale et centrale

Trouver l'image de $P(2, 5)$ par :

a) Symétrie par rapport à l'axe $Ox$ : $P'(2, -5)$

b) Symétrie par rapport à l'axe $Oy$ : $P'(-2, 5)$

c) Symétrie centrale de centre $C(1, 3)$ : $x' = 2 \times 1 - 2 = 0 \qquad y' = 2 \times 3 - 5 = 1$ $P'(0, 1)$

Vérification c) : milieu de $[PP'] = \left(\frac{2+0}{2}, \frac{5+1}{2}\right) = (1, 3) = C$ ✓

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Théorie

Une homothétie de centre $\Omega$ et de rapport $k \in \mathbb{R}^*$ est la transformation qui, à tout point $M$ , associe le point $M'$ tel que : $\overrightarrow{\Omega M'} = k \cdot \overrightarrow{\Omega M}$

En coordonnées (centre à l'origine) : $x' = kx \qquad y' = ky$

Propriétés :

Conserve les angles (transformation conforme)
Multiplie toutes les distances par $|k|$
Multiplie les aires par $k^2$
Si $k > 0$ : même sens que l'original ; si $k < 0$ : sens opposé (+ rotation de 180°)
Si $k = 1$ : identité ; si $k = -1$ : symétrie centrale
Le seul point fixe est le centre $\Omega$

Image d'un cercle de centre $A$ et rayon $r$ : cercle de centre $h(A)$ et rayon $|k| \cdot r$ .

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Piège — composition de transformations

Les transformations ne commutent pas en général : faire d'abord une rotation puis une translation ne donne pas le même résultat que dans l'ordre inverse (sauf dans des cas particuliers).

Pour composer deux transformations, appliquer toujours dans l'ordre : transformer d'abord avec la première, puis appliquer la seconde au résultat.

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Checkpoint

Quelle est l'image du point par l'homothétie de centre et de rapport ?

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À retenir

Translation de vecteur $(a,b)$ : $(x,y) \mapsto (x+a, y+b)$ — pas de point fixe, conserve orientation
Rotation d'angle $\theta$ (centre $O$ ) : $(x,y) \mapsto (x\cos\theta - y\sin\theta,\; x\sin\theta + y\cos\theta)$
Symétrie axiale : isométrie indirecte (inverse l'orientation) ; symétrie centrale = rotation 180°
Homothétie de rapport $k$ : multiplie les distances par $|k|$ , les aires par $k^2$

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Théorie

Représentation matricielle des transformations linéaires centrées à l'origine :

$\text{Rotation d'angle } \theta : \quad R_\theta = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

$\text{Réflexion par rapport à l'axe } Ox : \quad S_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \qquad \text{Axe } Oy : \quad S_y = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$

$\text{Homothétie de rapport } k : \quad H_k = k\,I_2 = \begin{pmatrix} k & 0 \\ 0 & k \end{pmatrix}$

Application : l'image de $M(x,y)$ par une transformation matricielle $A$ est $M' = A \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ .

Composition de transformations : appliquer d'abord $A$ puis $B$ donne la matrice $B \cdot A$ (attention à l'ordre de lecture, de droite à gauche).

$\text{Appliquer } A \text{ puis } B : \quad M' = B(AM) = (BA)\,M$

Non-commutativité : en général $AB \neq BA$ . Translation puis rotation $\neq$ rotation puis translation — sauf dans des cas particuliers (deux rotations de même centre, par exemple).

Coordonnées homogènes — pour inclure les translations dans une matrice $3\times3$ :

$T_{(a,b)} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x+a \\ y+b \\ 1 \end{pmatrix}$

Ce formalisme est la base de tous les pipelines graphiques (OpenGL, WebGL, SVG transforms, CSS).

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Composition rotation puis réflexion

Calculer l'image de $A(1, 0)$ par la composition : rotation de $90°$ puis réflexion par rapport à $Ox$ .

Étape 1 — Rotation $90°$ : $R_{90°} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad R_{90°}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

Étape 2 — Réflexion $Ox$ : $S_x\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}$

Matrice composée ( $S_x$ après $R_{90°}$ ) : $S_x \cdot R_{90°} = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&-1\\-1&0\end{pmatrix}$

Dans l'ordre inverse ( $R_{90°}$ après $S_x$ ) : $R_{90°} \cdot S_x = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \neq S_x \cdot R_{90°}$

L'image de $(1,0)$ par cet ordre inverse est $(0, 1)$ — résultat différent ! La non-commutativité est bien réelle.

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Checkpoint

La matrice de rotation de autour de l'origine est :

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Checkpoint

Pourquoi utilise-t-on les coordonnées homogènes (matrices ) en infographie 2D ?

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À retenir

Matrices 2D : rotation $R_\theta$ , réflexion $S_x$ / $S_y$ , homothétie $kI_2$ — application : $M' = AM$
Composition : appliquer $A$ puis $B$ donne $B \cdot A$ — l'ordre est de droite à gauche
Non-commutativité : $AB \neq BA$ en général (translation+rotation $\neq$ rotation+translation)
Isométries : translations, rotations, réflexions — conservent distances et angles
Homothéties : conservent les angles mais multiplient les distances par $|k|$ et les aires par $k^2$
Coordonnées homogènes : matrices $3\times3$ pour unifier toutes les transformations 2D en infographie

Transformations planes

Translation

Rotation

Symétries

Homothétie

Matrices de transformation 2D et compositions