Produit scalaire

Définition géométrique : soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non nuls, $\theta \in [0, \pi]$ l'angle entre eux : $\boxed{\vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \cdot \|\vec{v}\| \cdot \cos\theta}$

Formule analytique dans $\mathbb{R}^2$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Formule analytique dans $\mathbb{R}^3$ : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$

Propriétés :

• Commutativité : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$
• Bilinéarité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u}\cdot\vec{v} + \vec{u}\cdot\vec{w}$
• $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$
• Cauchy-Schwarz : $|\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$

Signe : positif si $\theta < \pi/2$, nul si orthogonaux, négatif si $\theta > \pi/2$.

Angle entre deux vecteurs : $\boxed{\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}} \qquad \theta = \arccos\!\left(\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}\right) \in [0, \pi]$

Formule de projection orthogonale de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ :

• Scalaire de projection : $p = \dfrac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|}$

• Vecteur projeté : $\boxed{\text{proj}_{\vec{v}}\,\vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\|\vec{v}\|^2}\,\vec{v}}$

• Composante orthogonale : $\vec{u}_\perp = \vec{u} - \text{proj}_{\vec{v}}\,\vec{u}$, vérifiant $\vec{u}_\perp \cdot \vec{v} = 0$.

Théorème d'Al-Kashi : dans un triangle $ABC$, $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\,AC\,\cos(\angle BAC)$

Identité : $\|\vec{u} + \vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$

Le produit vectoriel de $\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$ et $\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$ est le vecteur :

$\boxed{\vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix} u_2 v_3 - u_3 v_2 \\ u_3 v_1 - u_1 v_3 \\ u_1 v_2 - u_2 v_1 \end{pmatrix}}$

Moyen mnémotechnique : développer le "déterminant symbolique" $\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}$

Propriétés fondamentales :

• $\vec{u} \times \vec{v} \perp \vec{u}$ et $\vec{u} \times \vec{v} \perp \vec{v}$
• Anticommutativité : $\vec{u} \times \vec{v} = -\vec{v} \times \vec{u}$
• Norme : $\|\vec{u} \times \vec{v}\| = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\sin\theta$ (aire du parallélogramme)
• Parallélisme : $\vec{u} \times \vec{v} = \vec{0} \Longleftrightarrow \vec{u}$ et $\vec{v}$ colinéaires

Applications :

• Aire d'un triangle $ABC$ : $\text{Aire} = \frac{1}{2}\|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}\|$
• Vecteur normal à un plan contenant $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$
• Volume d'un parallélépipède : $V = |(\vec{u} \times \vec{v}) \cdot \vec{w}|$

Inégalité de Cauchy-Schwarz : |\vec{u} \cdot \vec{v}| \leq \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}

L'égalité a lieu si et seulement si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires.

Conséquence immédiate : puisque $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\|\vec{v}\|}$ et $|\cos\theta| \leq 1$, la formule de l'angle entre deux vecteurs est toujours bien définie.

Distance d'un point à une droite en 2D :

Soit la droite $\mathcal{D}$ d'équation $ax + by + c = 0$ et le point $P(x_0, y_0)$.

$\boxed{d(P, \mathcal{D}) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}$

Interprétation vectorielle : le vecteur normal à $\mathcal{D}$ est $\vec{n} = (a, b)$. La distance est la valeur absolue de la projection de $\overrightarrow{QP}$ (où $Q$ est un point de $\mathcal{D}$) sur $\vec{n}$ normalisé.

Angle entre deux plans en 3D :

Soient deux plans de vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$. $\cos\alpha = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\|\,\|\vec{n_2}\|}$

L'angle entre les plans vaut $\alpha \in [0, \pi/2]$ (on prend la valeur absolue pour avoir l'angle aigu).