Distances et angles

Dans le plan $\mathbb{R}^2$ : distance entre $A(x_A, y_A)$ et $B(x_B, y_B)$ :

$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}}$

Dans l'espace $\mathbb{R}^3$ : distance entre $A(x_A, y_A, z_A)$ et $B(x_B, y_B, z_B)$ :

$\boxed{AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}}$

Preuve : appliquer Pythagore deux fois — d'abord dans le plan $xy$, puis dans la direction $z$.

Milieu de $[AB]$ en $\mathbb{R}^3$ : $M = \left(\frac{x_A + x_B}{2},\; \frac{y_A + y_B}{2},\; \frac{z_A + z_B}{2}\right)$

Norme d'un vecteur $\vec{v} = (a, b, c) \in \mathbb{R}^3$ : $\|\vec{v}\| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$

La distance du point $P(x_0, y_0)$ à la droite $\Delta$ d'équation $ax + by + c = 0$ est :

$\boxed{d(P, \Delta) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}}$

Cas particuliers :

• Droite $y = 0$ : $d = |y_0|$ ; droite $x = k$ : $d = |x_0 - k|$
• Droite $y = mx + p$ (forme $mx - y + p = 0$) : $d = \dfrac{|mx_0 - y_0 + p|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

Distance entre deux droites parallèles $ax + by + c_1 = 0$ et $ax + by + c_2 = 0$ : $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Soient deux droites de pentes $m_1$ et $m_2$ (avec $m_1 m_2 \neq -1$). L'angle aigu $\phi$ entre elles vérifie :

$\boxed{\tan\phi = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|}$

puis $\phi = \arctan\!\left(\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\right) \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[$.

Cas perpendiculaire : $m_1 m_2 = -1$ → angle $= 90°$ (dénominateur nul).

Via les vecteurs directeurs (méthode générale, y compris droites verticales) : $\cos\theta = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$

Arc de cercle et secteur : $\ell = r\theta$ et $\mathcal{A} = \frac{1}{2}r^2\theta$.

Distance d'un point à un plan $ax + by + cz + d = 0$ :

$\boxed{d(P, \Pi) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}}$

Angle entre deux plans : si les vecteurs normaux sont $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ : $\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\|\,\|\vec{n_2}\|}$

Angle entre une droite (direction $\vec{d}$) et un plan (normale $\vec{n}$) : $\sin\alpha = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{d}\|\,\|\vec{n}\|}$

Distance entre deux droites gauches (non coplanaires) passant par $A$, $B$ de directions $\vec{u}$, $\vec{v}$ : $d = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{\|\vec{u} \times \vec{v}\|}$

Équation d'une sphère de centre $\Omega(a, b, c)$ et de rayon $r > 0$ : $\boxed{(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2}$

Forme développée : $x^2 + y^2 + z^2 - 2ax - 2by - 2cz + (a^2+b^2+c^2-r^2) = 0$.

Pour retrouver le centre et le rayon depuis la forme développée, compléter le carré sur chaque variable.

Angle dièdre entre deux plans $\Pi_1$ et $\Pi_2$ de vecteurs normaux $\vec{n_1}$ et $\vec{n_2}$ : $\cos\theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{\|\vec{n_1}\|\,\|\vec{n_2}\|}$

C'est l'angle entre les deux plans mesuré le long de leur droite d'intersection. Si $\cos\theta = 0$, les plans sont perpendiculaires.

Intersection droite-sphère : une droite paramétrée $\mathcal{D} : P(t) = P_0 + t\,\vec{d}$ et la sphère de centre $\Omega$, rayon $r$. On substitue dans l'équation de la sphère : $\|P_0 + t\,\vec{d} - \Omega\|^2 = r^2$

En développant, on obtient un trinôme en $t$ : $At^2 + Bt + C = 0$ avec :

• $\Delta > 0$ : deux points d'intersection (la droite coupe la sphère)
• $\Delta = 0$ : un point (tangente)
• $\Delta < 0$ : aucune intersection