Fonctions de référence

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Pourquoi cette leçon est importante

Cette leçon te servira directement pour 2 modules plus avancés :

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Maths IA/ML — Fonctions activation

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Pourquoi apprendre ça ?

Comme un charpentier a ses outils de base (marteau, niveau, équerre), le mathématicien a ses fonctions de référence. Ce sont les briques élémentaires à partir desquelles on construit toutes les autres fonctions. Les connaître par cœur te permettra de lire une courbe d'un coup d'œil.

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Analogie

Pense à l'alphabet : tu n'as pas besoin de réinventer les lettres à chaque mot. Les fonctions de référence, c'est pareil — un vocabulaire de base réutilisable à l'infini, par transformation ou composition.

La fonction identité

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Théorie

$f(x) = x$

Domaine : $\mathbb{R}$
Courbe : droite passant par l'origine, pente 1
Elle "renvoie" ce qu'on lui donne sans le modifier

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Identité

$f(-3) = -3$ , $f(0) = 0$ , $f(5) = 5$ . La courbe est la diagonale du repère.

La fonction carré

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Théorie

$f(x) = x^2$

Domaine : $\mathbb{R}$ , image dans $[0, +\infty[$
Courbe : parabole avec sommet en $(0, 0)$ , axe de symétrie $x = 0$
Paire : $f(-x) = f(x)$

📝

Carré

$f(-3) = 9$ , $f(0) = 0$ , $f(2) = 4$ .

La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

⚠️

Racine ≠ inverse du carré brut

$\sqrt{x^2} = |x|$ , pas $x$ . Exemple : $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$ , pas $-3$ .

La fonction cube

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Théorie

$f(x) = x^3$

Domaine : $\mathbb{R}$
Courbe : cubique, strictement croissante
Impaire : $f(-x) = -f(x)$ , symétrie par rapport à l'origine

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Cube

$f(-2) = -8$ , $f(0) = 0$ , $f(2) = 8$ .

Contrairement au carré, le cube garde le signe : un négatif cubé reste négatif.

La fonction valeur absolue

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Théorie

$f(x) = |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Domaine : $\mathbb{R}$ , image dans $[0, +\infty[$
Courbe : chevron avec sommet en $(0, 0)$
Toujours positive ou nulle : $|x| \geq 0$

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Valeur absolue

$|-5| = 5$ , $|3| = 3$ , $|0| = 0$

Interprétation géométrique : $|a - b|$ = distance entre $a$ et $b$ sur la droite réelle.

🧩

Checkpoint

Quelle est la valeur de ?

La fonction racine carrée

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Théorie

$f(x) = \sqrt{x}$

Domaine : $[0, +\infty[$ (uniquement pour $x \geq 0$ )
Courbe : demi-parabole couchée, croissante
$\sqrt{x}$ est l'inverse de $x^2$ sur les positifs : $\bigl(\sqrt{x}\bigr)^2 = x$

📝

Racine carrée

$\sqrt{0} = 0$ , $\sqrt{1} = 1$ , $\sqrt{4} = 2$ , $\sqrt{9} = 3$ , $\sqrt{2} \approx 1{,}414$

La courbe grandit vite au début, puis de plus en plus lentement.

La fonction inverse

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Théorie

$f(x) = \frac{1}{x}$

Domaine : $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ ( $x$ ne peut pas être nul)
Courbe : hyperbole à deux branches (quadrants 1 et 3)
Impaire : $f(-x) = -f(x)$
Asymptotes : $x = 0$ (vertical) et $y = 0$ (horizontal)

📝

Inverse

$f(1) = 1$ , $f(2) = 0{,}5$ , $f(-1) = -1$ , $f(0{,}1) = 10$

Plus $x$ est petit et positif, plus $1/x$ est grand. Plus $x$ est grand, plus $1/x$ tend vers 0.

🧩

Checkpoint

Parmi ces fonctions, laquelle n'est PAS définie pour ?

Récapitulatif

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Théorie

| Fonction | Formule | Domaine | Particularité | |----------|---------|---------|---------------| | Identité | $x$ | $\mathbb{R}$ | Droite diagonale | | Carré | $x^2$ | $\mathbb{R}$ | Parabole, paire | | Cube | $x^3$ | $\mathbb{R}$ | Cubique, impaire | | Valeur absolue | $\|x\|$ | $\mathbb{R}$ | Chevron, toujours $\geq 0$ | | Racine carrée | $\sqrt{x}$ | $[0;+\infty[$ | Demi-parabole couchée | | Inverse | $1/x$ | $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ | Hyperbole, impaire |

Dérivées, primitives et monotonie

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Théorie

Tableau complet des dérivées et primitives de référence :

| Fonction $f(x)$ | Dérivée $f'(x)$ | Primitive $F(x)$ | Monotonie | |-----------------|-----------------|------------------|-----------| | $x$ | $1$ | $\dfrac{x^2}{2}$ | Croissante sur $\mathbb{R}$ | | $x^2$ | $2x$ | $\dfrac{x^3}{3}$ | Décrois. sur $\mathbb{R}^-$ , crois. sur $\mathbb{R}^+$ | | $x^3$ | $3x^2$ | $\dfrac{x^4}{4}$ | Strictement croissante sur $\mathbb{R}$ | | $|x|$ | $\text{sgn}(x)$ , non déf. en 0 | $\dfrac{x|x|}{2}$ | Décrois. sur $\mathbb{R}^-$ , crois. sur $\mathbb{R}^+$ | | $\sqrt{x}$ | $\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$ | $\dfrac{2}{3}x^{3/2}$ | Strictement croissante sur $[0,+\infty[$ | | $\dfrac{1}{x}$ | $-\dfrac{1}{x^2}$ | $\ln|x|$ | Décrois. sur $\mathbb{R}^*_-$ et sur $\mathbb{R}^*_+$ |

Règle pratique : signe de $f'(x)$ donne la monotonie — $f' > 0 \Rightarrow$ croissante, $f' < 0 \Rightarrow$ décroissante.

Comportements asymptotiques

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Théorie

Les équivalents en $0^+$ et en $+\infty$ permettent de comprendre le comportement des fonctions aux extrêmes.

En $+\infty$ — hiérarchie des vitesses de croissance : $\ln x \ll x^\alpha \ll e^x \quad \text{pour tout } \alpha > 0$

| Fonction | Comportement en $+\infty$ | Comportement en $0^+$ | |----------|--------------------------|----------------------| | $x^n$ , $n \geq 1$ | $\to +\infty$ | $\to 0$ | | $\sqrt{x}$ | $\to +\infty$ (moins vite que $x$ ) | $\to 0$ (moins vite que $x$ ) | | $1/x$ | $\to 0^+$ | $\to +\infty$ | | $1/x^2$ | $\to 0^+$ (plus vite que $1/x$ ) | $\to +\infty$ (plus vite) |

Composées de fonctions de référence :

$\sqrt{x^2} = |x|$ (non $x$ ) — attention au signe
$(1/x)^2 = 1/x^2$
$\sqrt{1/x} = x^{-1/2}$ , définie uniquement pour $x > 0$

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Comportements asymptotiques : comparaisons

En $+\infty$ : $\sqrt{x}$ croît plus lentement que $x$ : $\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} 0$

En $0^+$ : $\sqrt{x}$ tend vers 0 plus lentement que $x$ : $\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} \xrightarrow[x \to 0^+]{} 0$

Composée : domaine de $x \mapsto \sqrt{1/x}$ : il faut $1/x \geq 0$ , soit $x > 0$ .

Sur ce domaine : $\sqrt{1/x} = x^{-1/2} \to +\infty$ quand $x \to 0^+$ , et $\to 0$ quand $x \to +\infty$ .

🧩

Checkpoint

Quelle est la dérivée de ?

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Checkpoint

Sur quel intervalle la fonction est-elle strictement croissante ?

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À retenir

Identité : droite $y = x$ , dérivée $1$ , primitive $x^2/2$ , croissante sur $\mathbb{R}$
Carré : parabole, paire, dérivée $2x$ , crois. sur $\mathbb{R}^+$ , décrois. sur $\mathbb{R}^-$
Cube : strictement croissant sur $\mathbb{R}$ , dérivée $3x^2$ , garde le signe
Valeur absolue : distance à zéro, non dérivable en 0, toujours $\geq 0$
Racine carrée : domaine $[0,+\infty[$ , dérivée $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ , strictement croissante
Inverse : non définie en 0, asymptotes aux axes, dérivée $-1/x^2$ , primitive $\ln|x|$
Hiérarchie en $+\infty$ : $\ln x \ll x^\alpha \ll e^x$ pour tout $\alpha > 0$

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