Fonctions quadratiques

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Limites

Analyse — Limites

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Fonctions activation

Maths IA/ML — Fonctions activation

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Pourquoi apprendre ça ?

La trajectoire d'un ballon lancé, le profit en fonction du prix, la forme d'une antenne satellite — tout cela est une parabole. La fonction quadratique modélise tout ce qui a un optimum.

🎯

Analogie

Imagine régler le volume d'une enceinte : trop bas personne n'entend, trop fort cela distord. Il y a un volume idéal. Ce sweet spot est le sommet d'une parabole.

Définition et sommet

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Théorie

Une fonction quadratique est de la forme :

$ax^2 + bx + c \quad \text{avec } a \neq 0$

Sommet $(h, k)$ : $h = -\frac{b}{2a} \qquad k = f(h)$

Forme canonique : $f(x) = a(x - h)^2 + k$

📝

Trouver le sommet

$f(x) = 2x^2 - 4x + 1$

$h = 4/4 = 1$ , $k = f(1) = 2 - 4 + 1 = -1$

Forme canonique : $f(x) = 2(x-1)^2 - 1$ . Sommet $(1, -1)$ , minimum.

Sens de variation

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Théorie

$a > 0$ : parabole vers le haut — sommet = minimum
$a < 0$ : parabole vers le bas — sommet = maximum

Axe de symétrie : $x = h$

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Checkpoint

Pour , le sommet est un ?

Racines et signe

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Théorie

Racines via $\Delta = b^2 - 4ac$ :

$\Delta > 0$ : $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
$\Delta = 0$ : $x_0 = h$
$\Delta < 0$ : pas de racine réelle

Si $a > 0$ , $f < 0$ entre les racines, $f > 0$ en dehors.

📝

Racines

$f(x) = x^2 - 4x + 3$ , $\Delta = 4$ , racines $x_1=1$ et $x_2=3$ .

$f(x) = (x-1)(x-3)$

🧩

Checkpoint

Pour laquelle de ces valeurs ?

Tableau de signe

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Théorie

Pour construire le tableau de signe de $f(x) = ax^2 + bx + c$ :

Calculer $\Delta$ et trouver les racines $x_1 < x_2$ (si $\Delta > 0$ )
Placer les racines sur la ligne des $x$
En dehors de $[x_1, x_2]$ , $f$ a le même signe que $a$
Entre $x_1$ et $x_2$ , $f$ a le signe opposé à $a$

| $x$ | $-\infty$ | | $x_1$ | | $x_2$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|---|-------|---|-------|---|-----------| | $f(x)$ | signe de $a$ | | $0$ | signe de $-a$ | $0$ | | signe de $a$ |

📝

Tableau de signe de

$a = 2$ , $b = -5$ , $c = 3$

$\Delta = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \dfrac{5 - 1}{4} = 1$ et $x_2 = \dfrac{5 + 1}{4} = \dfrac{3}{2}$

Tableau de signe ( $a = 2 > 0$ ) :

| $x$ | $-\infty$ | | $1$ | | $\frac{3}{2}$ | | $+\infty$ | |-----|-----------|---|-----|---|----------------|---|-----------| | $f(x)$ | $+$ | | $0$ | $-$ | $0$ | | $+$ |

Donc $f(x) < 0$ uniquement sur $\left]1,\ \dfrac{3}{2}\right[$ .

📝

Méthode : vérification par un point test

Pour confirmer le signe entre $x_1$ et $x_2$ , évaluer $f$ en un point intermédiaire.

Ici, tester $x = 1{,}2$ (entre $1$ et $1{,}5$ ) :

$f(1{,}2) = 2(1{,}44) - 6 + 3 = 2{,}88 - 3 = -0{,}12 < 0$ ✓

🧩

Checkpoint

Pour , sur quel intervalle ?

Forme factorisée

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Théorie

Quand $\Delta \geq 0$ , la fonction quadratique s'écrit en forme factorisée :

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$

où $x_1$ et $x_2$ sont les racines.

Relations de Viète (lien racines–coefficients) : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Ces relations permettent de vérifier les racines sans les recalculer.

Si $\Delta = 0$ , la forme factorisée est $f(x) = a(x - x_0)^2$ .

📝

Factorisation et vérification par Viète

$f(x) = 3x^2 - 7x + 2$

$\Delta = 49 - 24 = 25$ , $x_1 = \dfrac{7-5}{6} = \dfrac{1}{3}$ , $x_2 = \dfrac{7+5}{6} = 2$

Forme factorisée : $f(x) = 3\!\left(x - \dfrac{1}{3}\right)(x - 2)$

Vérification par Viète :

$x_1 + x_2 = \dfrac{1}{3} + 2 = \dfrac{7}{3} = -\dfrac{b}{a} = \dfrac{7}{3}$ ✓
$x_1 \cdot x_2 = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3} = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{3}$ ✓

⚠️

Attention

Erreur classique d'algèbre :

$(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$

La forme correcte est :

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Le terme $2ab$ est souvent oublié. Exemple : $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ , pas $x^2 + 9$ .

🧩

Checkpoint

Pour , quelle est la valeur de (produit des racines) ?

Applications — Optimisation

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Théorie

Le sommet d'une parabole donne la valeur maximale (si $a < 0$ ) ou minimale (si $a > 0$ ) de la fonction. Cette propriété permet de résoudre des problèmes d'optimisation en modélisant la situation par une fonction quadratique.

Démarche générale :

Définir la variable et exprimer la quantité à optimiser
Obtenir une fonction quadratique $f(x) = ax^2 + bx + c$
Calculer le sommet $h = -b/(2a)$
Interpréter $h$ et $k = f(h)$ dans le contexte

📝

Clôture rectangulaire — maximiser l'aire

Un fermier dispose de $60$ m de clôture pour délimiter un rectangle contre un mur (un côté n'a pas besoin de clôture).

Soit $x$ la longueur perpendiculaire au mur. Alors la longueur parallèle vaut $60 - 2x$ .

Aire : $A(x) = x(60 - 2x) = -2x^2 + 60x$

Sommet : $h = -\dfrac{60}{2 \times (-2)} = 15$ m

Aire maximale : $A(15) = -2(225) + 900 = 450$ m²

Le rectangle optimal mesure 15 m × 30 m.

📝

Profit maximal

Une entreprise vend $x$ unités au prix unitaire de $(100 - 2x)$ euros. Le coût de production est $20x + 500$ euros.

Profit : $P(x) = x(100 - 2x) - (20x + 500) = -2x^2 + 80x - 500$

Sommet : $h = -\dfrac{80}{-4} = 20$ unités

Profit maximal : $P(20) = -2(400) + 1600 - 500 = 300$ euros

📝

Projectile — hauteur maximale

Un projectile est lancé avec la hauteur (en mètres) : $h(t) = -5t^2 + 20t + 2$ , où $t$ est en secondes.

Sommet : $t^* = -\dfrac{20}{2 \times (-5)} = 2$ s

Hauteur maximale : $h(2) = -20 + 40 + 2 = 22$ m

Le projectile atteint 22 m après 2 secondes.

⭐

À retenir

$f(x) = ax^2+bx+c$ : parabole, orientation selon signe de $a$
Sommet : $h = -b/(2a)$ , $k = f(h)$ — minimum si $a>0$ , maximum si $a<0$
Racines via $\Delta = b^2-4ac$
Tableau de signe : $f$ a le signe de $a$ hors $[x_1, x_2]$ , opposé entre les racines
Forme factorisée : $f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)$ quand $\Delta \geq 0$
Relations de Viète : $x_1+x_2 = -b/a$ , $x_1 x_2 = c/a$
Optimisation : le sommet donne le maximum ou minimum dans les problèmes concrets

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