Parité et symétrie

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Analyse — Limites

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Fonctions activation

Maths IA/ML — Fonctions activation

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Pourquoi apprendre ça ?

Certaines fonctions ont une beauté particulière : leur courbe est parfaitement symétrique. Les fonctions paires ressemblent à un papillon (axe de symétrie vertical), les fonctions impaires tournent autour de l'origine. Cette régularité n'est pas juste esthétique — elle permet de ne faire les calculs que sur la moitié du domaine et de déduire le reste par symétrie.

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Analogie

Un visage parfaitement symétrique est "pair" : le côté gauche est le miroir exact du côté droit. Une roue de vélo est "impaire" : elle a une symétrie de rotation à 180° autour de son centre, pas de symétrie miroir. Les fonctions paires et impaires obéissent aux mêmes logiques de symétrie.

Fonction paire — symétrie axiale

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Théorie

Une fonction $f$ est dite paire si et seulement si, pour tout $x$ dans son domaine :

$\boxed{f(-x) = f(x)}$

Interprétation géométrique : la courbe de $f$ est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées ( $x = 0$ ). Si le point $(a, b)$ est sur la courbe, alors $(-a, b)$ l'est aussi.

Condition préalable : le domaine doit être symétrique par rapport à 0 (si $x \in D_f$ , alors $-x \in D_f$ ).

Exemples de fonctions paires : $x^2$ , $x^4$ , $\cos x$ , $|x|$ — toute expression ne contenant que des puissances paires de $x$ .

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Vérifier qu'une fonction est paire

Montrer que $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ est paire.

Calcul de $f(-x)$ : $f(-x) = 3(-x)^4 - 2(-x)^2 + 5 = 3x^4 - 2x^2 + 5 = f(x)$

On obtient bien $f(-x) = f(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , donc $f$ est paire.

Astuce rapide : $f$ ne contient que des puissances paires de $x$ (degrés 4, 2 et 0). C'est un indicateur direct.

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Checkpoint

Laquelle de ces fonctions est paire ?

Fonction impaire — symétrie centrale

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Théorie

Une fonction $f$ est dite impaire si et seulement si, pour tout $x$ dans son domaine :

$\boxed{f(-x) = -f(x)}$

Interprétation géométrique : la courbe est symétrique par rapport à l'origine $O(0,0)$ . Si $(a, b)$ est sur la courbe, alors $(-a, -b)$ l'est aussi. Une rotation de 180° autour de $O$ laisse la courbe invariante.

Propriété remarquable : si $f$ est impaire et que $0 \in D_f$ , alors nécessairement $f(0) = 0$ .

Preuve : $f(-0) = -f(0) \Rightarrow f(0) = -f(0) \Rightarrow f(0) = 0$ .

Exemples : $x$ , $x^3$ , $\sin x$ , $\tan x$ — toute expression ne contenant que des puissances impaires de $x$ .

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Vérifier qu'une fonction est impaire

Montrer que $g(x) = 2x^3 - x$ est impaire.

Calcul de $g(-x)$ : $g(-x) = 2(-x)^3 - (-x) = -2x^3 + x = -(2x^3 - x) = -g(x)$

On obtient $g(-x) = -g(x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ , donc $g$ est impaire.

Vérification : $g(0) = 0$ ✓ (cohérent avec la propriété des fonctions impaires).

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Fonction ni paire ni impaire

Étudier la parité de $h(x) = x^2 + x$ .

Calcul de $h(-x)$ : $h(-x) = (-x)^2 + (-x) = x^2 - x$

$h(-x) = h(x)$ ? $\;\; x^2 - x \neq x^2 + x$ en général → non paire
$h(-x) = -h(x)$ ? $\;\; x^2 - x \neq -(x^2+x) = -x^2 - x$ → non impaire

Conclusion : $h$ est ni paire ni impaire. C'est le cas le plus fréquent en pratique.

⚠️

Piège — domaine non symétrique

Si le domaine de $f$ n'est pas symétrique par rapport à 0 (par exemple $D_f = [1\,;+\infty[$ ), la parité ne se pose pas : $f(-x)$ n'est pas défini pour $x > 0$ .

Toujours vérifier la symétrie du domaine avant de conclure à la parité ou l'imparité.

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Checkpoint

Si est impaire et que , quelle est la valeur de ?

Décomposition en partie paire et impaire

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Théorie

Toute fonction $f$ définie sur un domaine symétrique par rapport à 0 se décompose de manière unique en une somme :

$\boxed{f = f_p + f_i}$

où : $f_p(x) = \frac{f(x) + f(-x)}{2} \quad \text{(partie paire)} \qquad f_i(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2} \quad \text{(partie impaire)}$

Vérifications : $f_p(-x) = f_p(x)$ ✓ et $f_i(-x) = -f_i(x)$ ✓. L'unicité garantit qu'il n'existe qu'une seule telle décomposition.

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Décomposer

On calcule directement les deux parties :

$f_p(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} = \cosh(x) \quad \text{(cosinus hyperbolique — paire)}$

$f_i(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2} = \sinh(x) \quad \text{(sinus hyperbolique — impaire)}$

On retrouve ainsi la décomposition classique $e^x = \cosh(x) + \sinh(x)$ , qui est exactement la décomposition paire/impaire de l'exponentielle.

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Checkpoint

Quelle est la partie paire de ?

Applications pratiques de la parité

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Théorie

La parité simplifie considérablement le calcul d'intégrales sur un intervalle symétrique $[-a, a]$ :

$\text{Si } f \text{ est paire :} \quad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx$

$\text{Si } f \text{ est impaire :} \quad \int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 0$

Intuition géométrique : pour une fonction impaire, les aires algébriques sur $[-a, 0]$ et $[0, a]$ sont opposées et s'annulent exactement.

📝

Calculs d'intégrales simplifiés

Cas impaire — résultat immédiat :

$x^3$ est impaire, donc $\displaystyle\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$ sans aucun calcul.

Cas paire — domaine réduit de moitié :

$x^2$ est paire, donc : $\int_{-2}^{2} x^2\,dx = 2\int_{0}^{2} x^2\,dx = 2\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{8}{3} = \frac{16}{3}$

⚠️

Domaine symétrique obligatoire

Ces simplifications ne sont valables que si l'intervalle d'intégration est symétrique par rapport à 0. Sur $[0, 2]$ ou $[-1, 3]$ , la parité ne permet aucun raccourci de ce type.

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Checkpoint

Quelle est la valeur de ?

Parité des fonctions composées

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Théorie

La composition de fonctions paires et impaires suit des règles simples, analogues aux règles de signes :

| $f$ | $g$ | $f \circ g$ | |-----|-----|-------------| | paire | paire | paire | | paire | impaire | paire | | impaire | impaire | impaire | | impaire | paire | ni paire ni impaire en général |

Règle mnémotechnique : "impaire ∘ impaire = impaire" (comme $(-1) \times (-1) = +1$ mais pour l'imparité).

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Parité de

On identifie la composition : $(\sin \circ\, x^2)(x) = \sin(x^2)$ .

$g(x) = x^2$ est paire
$f(x) = \sin(x)$ est impaire

D'après le tableau : impaire ∘ paire → paire.

Vérification directe : $\sin((-x)^2) = \sin(x^2)$ ✓

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À retenir

Fonction paire : $f(-x) = f(x)$ — symétrie axiale par rapport à l'axe des ordonnées
Fonction impaire : $f(-x) = -f(x)$ — symétrie centrale par rapport à l'origine ; $f(0) = 0$ obligatoirement
Décomposition unique : $f = f_p + f_i$ avec $f_p(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}$ et $f_i(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}$
Intégrale sur $[-a,a]$ : nulle si $f$ impaire, doublée sur $[0,a]$ si $f$ paire (domaine symétrique obligatoire)
Composition : impaire ∘ impaire = impaire ; paire ∘ (paire ou impaire) = paire
La plupart des fonctions sont ni paires ni impaires — toujours vérifier la symétrie du domaine d'abord

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