Définition et notation

Une fonction $f$ d'un ensemble $A$ vers un ensemble $B$, notée $f : A \to B$, est une règle qui associe à chaque élément $x$ de $A$ un et un seul élément $f(x)$ de $B$.

Vocabulaire essentiel :

• $A$ est le domaine de définition : l'ensemble des valeurs autorisées en entrée
• $B$ est le codomaine : l'ensemble dans lequel vivent les sorties
• $f(x)$ est l'image de $x$ par $f$ : la valeur de sortie associée à $x$
• $x$ est un antécédent de $f(x)$ : la valeur d'entrée qui a produit cette sortie

Notation complète : $f : A \longrightarrow B, \quad x \longmapsto f(x)$

La flèche $\mapsto$ se lit "est envoyé sur" ou "a pour image".

Domaine de définition maximal : quand $A$ n'est pas précisé, c'est l'ensemble de tous les réels pour lesquels le calcul de $f(x)$ est valide. Il faut exclure :

• les dénominateurs nuls : $x$ tel que le dénominateur $= 0$
• les radicandes négatifs : $x$ tel que ce qui est sous une racine carrée $< 0$

Pour déterminer le domaine de définition maximal $D_f$ d'une fonction réelle, on identifie toutes les contraintes d'existence et on prend leur intersection.

Trois cas à connaître :

1. Fraction $\dfrac{u(x)}{v(x)}$ : il faut $v(x) \neq 0$.

2. Racine carrée $\sqrt{u(x)}$ : il faut $u(x) \geq 0$.

3. Logarithme $\ln(u(x))$ : il faut $u(x) > 0$ (strictement positif).

Résumé :

| Expression | Condition | |---|---| | $\dfrac{1}{u(x)}$ | $u(x) \neq 0$ | | $\sqrt{u(x)}$ | $u(x) \geq 0$ | | $\ln(u(x))$ | $u(x) > 0$ | | $\dfrac{\sqrt{u(x)}}{v(x)}$ | $u(x) \geq 0$ ET $v(x) \neq 0$ |

Méthode : résoudre chaque contrainte séparément, puis prendre l'intersection.

Il est important de distinguer deux notions proches mais différentes :

Codomaine ($B$ dans $f : A \to B$) : l'ensemble de destination des sorties, souvent $\mathbb{R}$. C'est l'ensemble dans lequel les valeurs "vivent", pas nécessairement les valeurs effectivement atteintes.

Image (ou ensemble image) de $f$ : l'ensemble des valeurs réellement atteintes : $\text{Im}(f) = f(A) = \{f(x) \mid x \in A\}$

On a toujours $\text{Im}(f) \subseteq B$ (l'image est une partie du codomaine), mais pas nécessairement l'égalité.

Exemples :

• $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2$ : codomaine $= \mathbb{R}$, mais $\text{Im}(f) = [0, +\infty[$
• $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = \sin(x)$ : codomaine $= \mathbb{R}$, mais $\text{Im}(f) = [-1, 1]$

Lecture graphique de l'image : ce sont les ordonnées de tous les points de la courbe — la projection de la courbe sur l'axe des $y$.

Ces trois notions décrivent la façon dont une fonction $f : A \to B$ distribue ses valeurs.

Injection (fonction injective) : deux entrées distinctes donnent toujours des sorties distinctes : $x_1 \neq x_2 \implies f(x_1) \neq f(x_2)$ Chaque valeur de $B$ a au plus un antécédent.

Surjection (fonction surjective) : toute valeur du codomaine est atteinte : $\forall y \in B,\; \exists x \in A,\; f(x) = y \quad \Leftrightarrow \quad \text{Im}(f) = B$ Chaque valeur de $B$ a au moins un antécédent.

Bijection : à la fois injective et surjective. Chaque valeur de $B$ a exactement un antécédent dans $A$.

Une bijection est inversible : on peut définir $f^{-1} : B \to A$.

La courbe représentative (ou graphe) de $f$ est l'ensemble des points du plan de coordonnées $(x, f(x))$ : $\mathcal{C}_f = \{(x, f(x)) \mid x \in D_f\}$

Lecture graphique :

• L'image de $a$ : on cherche le point de la courbe d'abscisse $a$, on lit son ordonnée $f(a)$
• Les antécédents de $b$ : on trace la droite horizontale $y = b$, les intersections avec $\mathcal{C}_f$ donnent les abscisses des antécédents

Test de la droite verticale : un graphe représente une fonction si et seulement si toute droite verticale coupe le graphe en au plus un point.

Test de la droite horizontale (injectivité) : la fonction est injective si et seulement si toute droite horizontale coupe le graphe en au plus un point.