Composition de fonctions

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Limites

Analyse — Limites

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Fonctions activation

Maths IA/ML — Fonctions activation

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Pourquoi apprendre ça ?

La composition, c'est chaîner des fonctions : la sortie de l'une devient l'entrée de l'autre. En ML, chaque couche d'un réseau de neurones est une composition de fonctions.

🎯

Analogie

Pense à une chaîne de montage. La pièce sort de la machine A et entre dans la machine B. Si $g$ est la machine A et $f$ est la machine B, alors $f \circ g$ est la chaîne complète.

Définition

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Théorie

La composée de $f$ et $g$ (notée $f \circ g$ ) est :

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$

On applique d'abord $g$ , puis $f$ sur le résultat.

Domaine : $\text{Dom}(f \circ g) = \{x \in \text{Dom}(g) \mid g(x) \in \text{Dom}(f)\}$

📝

Composition simple

$f(x) = x^2$ et $g(x) = x + 1$

$(f \circ g)(x) = (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(g \circ f)(x) = x^2 + 1$

Attention : $f \circ g \neq g \circ f$ en général !

⚠️

Notation : f(g(x)) ≠ f × g(x)

$f(g(x))$ signifie appliquer $f$ au résultat de $g(x)$ — c'est la composition.

$f(x) \cdot g(x)$ signifie multiplier les deux valeurs — c'est le produit.

Exemple : $f(x) = x^2$ , $g(x) = x+1$ .

Composition : $f(g(x)) = (x+1)^2$
Produit : $f(x) \cdot g(x) = x^2(x+1) = x^3 + x^2$

Ces deux expressions sont complètement différentes !

🧩

Checkpoint

Avec et , que vaut ?

Non-commutativité

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Théorie

La composition n'est pas commutative : en général, $f \circ g \neq g \circ f$ .

L'ordre dans lequel on applique les fonctions change le résultat — comme enfiler ses chaussettes avant ses chaussures n'est pas pareil qu'enfiler ses chaussures avant ses chaussettes.

📝

Non-commutativité frappante

$f(x) = e^x$ et $g(x) = x^2$

$(f \circ g)(x) = e^{x^2}$ — on élève au carré, puis on exponentie.

$(g \circ f)(x) = (e^x)^2 = e^{2x}$ — on exponentie, puis on élève au carré.

Ces deux fonctions ont des comportements très différents : $e^{x^2}$ croît bien plus vite que $e^{2x}$ pour $|x|$ grand.

Autre exemple : $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x - 4$

$(f \circ g)(x) = \sqrt{x - 4}$ , définie pour $x \geq 4$ .

$(g \circ f)(x) = \sqrt{x} - 4$ , définie pour $x \geq 0$ .

Même les domaines diffèrent !

Associativité

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Théorie

En revanche, la composition est associative : pour trois fonctions $f$ , $g$ , $h$ ,

$f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$

On peut donc écrire $f \circ g \circ h$ sans parenthèses ambiguës — l'ordre d'application reste $h$ puis $g$ puis $f$ (de droite à gauche).

Cela permet de chaîner autant de fonctions que souhaité sans se soucier du groupement.

Itérations

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Théorie

On note $f^n$ la composition de $f$ avec elle-même $n$ fois :

$f^2 = f \circ f, \quad f^3 = f \circ f \circ f, \quad f^n = \underbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}_{n \text{ fois}}$

Convention : $f^1 = f$ et $f^0 = \text{Id}$ (la fonction identité).

Attention : $f^2(x) \neq [f(x)]^2$ en général ! $f^2(x)$ signifie $f(f(x))$ .

📝

Itérations

$f(x) = 2x + 1$

$f^2(x) = f(f(x)) = f(2x+1) = 2(2x+1)+1 = 4x + 3$

$f^3(x) = f(f^2(x)) = f(4x+3) = 2(4x+3)+1 = 8x + 7$

On observe le motif : $f^n(x) = 2^n x + (2^n - 1)$ .

En cryptographie et en dynamique des systèmes, itérer une fonction des milliers de fois est une opération courante.

Fonction identité : élément neutre

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Théorie

La fonction identité $\text{Id}(x) = x$ est l'élément neutre de la composition :

$f \circ \text{Id} = f \qquad \text{et} \qquad \text{Id} \circ f = f$

C'est l'équivalent du $1$ pour la multiplication, mais pour la composition.

Cette propriété est fondamentale pour définir les fonctions réciproques : $f \circ f^{-1} = \text{Id}$ .

Décomposition

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Théorie

Il est souvent utile de décomposer une fonction complexe en identifiant une fonction intérieure $g$ et une fonction extérieure $f$ telles que $h = f \circ g$ .

$h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : poser $g(x) = x^2+1$ et $f(x) = \sqrt{x}$ , alors $h = f \circ g$ .

📝

Décomposer

$h(x) = (3x-2)^5$

$g(x) = 3x-2$ et $f(u) = u^5$ , donc $h = f \circ g$ .

Utile pour la règle de dérivation en chaîne !

📝

Décomposer pour dériver

Pour calculer la dérivée de $h(x) = \sin(x^3 + 2x)$ , on décompose :

Fonction intérieure : $g(x) = x^3 + 2x$
Fonction extérieure : $f(u) = \sin(u)$

Règle de la chaîne : $h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) = \cos(x^3+2x) \cdot (3x^2+2)$

La décomposition rend la dérivation mécanique et sans erreur.

Fonction réciproque

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Théorie

La réciproque $f^{-1}$ vérifie : $f(f^{-1}(x)) = x$ et $f^{-1}(f(x)) = x$

En notation de composition : $f \circ f^{-1} = \text{Id}$ et $f^{-1} \circ f = \text{Id}$ .

$f^{-1}$ existe si et seulement si $f$ est bijective (injective et surjective).

📝

Trouver la réciproque

$f(x) = 2x + 3$ : poser $y = 2x+3$ , isoler $x$ .

$f^{-1}(x) = \dfrac{x-3}{2}$

Vérif : $f(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \dfrac{x-3}{2} + 3 = x$ ✓

⚠️

Ordre non commutatif

La fonction la plus à droite dans $f \circ g$ s'applique en premier.

🧩

Checkpoint

Si et , alors

🧩

Checkpoint

Soit . Que vaut ?

🧩

Checkpoint

Pour , quelle décomposition est correcte ?

⭐

À retenir

$(f \circ g)(x) = f(g(x))$ : d'abord $g$ , puis $f$
Composition non commutative : $f \circ g \neq g \circ f$ en général
Composition associative : $f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h$
Itérations : $f^n$ = appliquer $f$ exactement $n$ fois ( $f^0 = \text{Id}$ )
Identité : $\text{Id}$ est l'élément neutre — $f \circ \text{Id} = \text{Id} \circ f = f$
Décomposer = identifier la fonction intérieure et extérieure (clé pour dériver en chaîne)
$f^{-1}$ : inverse de $f$ , vérifie $f \circ f^{-1} = \text{Id}$

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