Fonctions affines

Une fonction affine est de la forme :

$f(x) = ax + b \quad \text{avec } a, b \in \mathbb{R}$

• $a$ = coefficient directeur (pente) : variation de $f$ pour $+1$ en $x$
• $b$ = ordonnée à l'origine : valeur de $f$ quand $x = 0$

Cas particuliers :

• $b = 0$ : fonction linéaire $f(x) = ax$ (passe par l'origine)
• $a = 0$ : fonction constante $f(x) = b$

Si la droite passe par $(x_1, y_1)$ et $(x_2, y_2)$ avec $x_1 \neq x_2$ :

$a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Puis $b = y_1 - a \cdot x_1$

Deux droites $f(x) = a_1 x + b_1$ et $g(x) = a_2 x + b_2$ sont :

• Parallèles si et seulement si $a_1 = a_2$ (et $b_1 \neq b_2$, sinon elles sont confondues)
• Perpendiculaires si et seulement si $a_1 \cdot a_2 = -1$, c'est-à-dire $a_2 = -\dfrac{1}{a_1}$

La pente d'une droite perpendiculaire est l'opposé de l'inverse de la pente initiale.

Le signe de $a$ détermine entièrement le sens de variation d'une fonction affine sur $\mathbb{R}$ :

| Condition | Sens de variation | Lecture du tableau | |-----------|-------------------|--------------------| | $a > 0$ | Strictement croissante | $f$ augmente quand $x$ augmente | | $a < 0$ | Strictement décroissante | $f$ diminue quand $x$ augmente | | $a = 0$ | Constante | $f(x) = b$ pour tout $x$ |

Pour $a \neq 0$, la fonction prend toutes les valeurs réelles : elle n'a ni maximum ni minimum.

Les fonctions affines modélisent toute situation où un coût fixe s'additionne à un coût proportionnel : abonnements, tarifs kilométriques, conversions d'unités.