Puissances et racines

La puissance $a^n$ (lire "a exposant n") est définie pour $a \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{Z}$ :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n \text{ fois}} \quad (n > 0)$

Cas particuliers :

• $a^0 = 1$ (pour tout $a \neq 0$)
• $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ (pour $a \neq 0$)
• $a^1 = a$

Les règles fondamentales sur les exposants (avec $a, b \neq 0$) :

| Règle | Formule | |-------|---------| | Produit | $a^m \times a^n = a^{m+n}$ | | Quotient | $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | | Puissance de puissance | $(a^m)^n = a^{m \times n}$ | | Produit de bases | $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ |

La racine $n$-ième est l'opération inverse de la puissance :

$\sqrt[n]{a} = a^{1/n} \quad \text{c'est-à-dire} \quad \left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a$

En particulier : $\sqrt{a} = a^{1/2}$ et $\sqrt[3]{a} = a^{1/3}$

Propriétés des racines carrées (avec $a, b \geq 0$) :

$\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}$ $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\sqrt{a^2} = |a|$

Les puissances négatives permettent d'exprimer des fractions de façon compacte. Pour $a \neq 0$ et $n > 0$ :

$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$

Cette définition assure la cohérence de la règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ même pour des exposants négatifs :

$a^2 \times a^{-2} = a^{2 + (-2)} = a^0 = 1 \quad \checkmark$

Tableau des puissances de 2 :

| $n$ | $-3$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | |-----|------|------|------|-----|-----|-----|-----| | $2^n$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $1$ | $2$ | $4$ | $8$ |

Règle des puissances négatives d'une fraction :

$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} = \frac{b^n}{a^n}$

On peut étendre la notion de puissance à des exposants rationnels $p/q$ (avec $q > 0$) :

$a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \quad \text{(racine } n\text{-ième)}$

$a^{p/q} = \left(\sqrt[q]{a}\right)^p = \sqrt[q]{a^p}$

Propriété : Ces définitions sont compatibles avec toutes les règles de calcul des exposants entiers.

Vérification : $\left(a^{1/n}\right)^n = a^{n/n} = a^1 = a$. C'est bien la racine $n$-ième.

Cas particuliers courants :

| Expression | Équivalent | Exemple | |------------|-----------|---------| | $a^{1/2}$ | $\sqrt{a}$ | $4^{1/2} = 2$ | | $a^{1/3}$ | $\sqrt[3]{a}$ | $8^{1/3} = 2$ | | $a^{3/2}$ | $\left(\sqrt{a}\right)^3$ | $4^{3/2} = 8$ | | $a^{2/3}$ | $\left(\sqrt[3]{a}\right)^2$ | $8^{2/3} = 4$ |

Les puissances apparaissent dans de nombreuses lois fondamentales de la physique.

Énergie de masse — Einstein :

$E = mc^2$

où $m$ est la masse (kg), $c \approx 3 \times 10^8$ m/s la vitesse de la lumière. L'exposant 2 sur $c$ explique l'énergie colossale libérée en fission nucléaire.

Loi de la gravitation universelle — Newton :

$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

La force décroît comme l'inverse du carré de la distance : doubler la distance divise la force par 4.

Notation scientifique : Les puissances de 10 permettent d'exprimer de très grands ou très petits nombres :

$6{,}022 \times 10^{23} \text{ (nombre d'Avogadro)} \qquad 1{,}6 \times 10^{-19} \text{ C (charge de l'électron)}$

Règles de calcul en notation scientifique :

$a \times 10^p \times b \times 10^q = (ab) \times 10^{p+q}$

$\frac{a \times 10^p}{b \times 10^q} = \frac{a}{b} \times 10^{p-q}$