Inéquations et valeur absolue

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Pourquoi cette leçon est importante

Cette leçon te servira directement pour 4 modules plus avancés :

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Analyse — Limites

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Algèbre Linéaire — Systèmes linéaires

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Dénombrement

Probabilités — Dénombrement

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Pourquoi apprendre ça ?

Les inéquations apparaissent partout dans la vraie vie : "la température doit rester sous 100 °C", "le bénéfice doit dépasser 5 000 €", "la vitesse ne peut pas dépasser 130 km/h". Résoudre une inéquation, c'est trouver l'ensemble des valeurs qui satisfont une contrainte — pas juste un seul nombre, mais tout un intervalle.

🎯

Analogie

Une équation, c'est une balance parfaitement en équilibre. Une inéquation, c'est un détecteur de surcharge : il se déclenche dès que la charge dépasse (ou n'atteint pas) un seuil. Plutôt qu'un point précis, on cherche une zone admissible.

Résoudre une inéquation du premier degré

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Théorie

Une inéquation du premier degré s'écrit $ax + b > c$ (ou avec $<$ , $\leq$ , $\geq$ ).

Règles de manipulation :

Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés : l'inégalité se conserve
Multiplier ou diviser par un nombre positif : l'inégalité se conserve
Multiplier ou diviser par un nombre négatif : l'inégalité s'inverse

$\text{Si } a > 0 : \quad ax > b \Longleftrightarrow x > \frac{b}{a}$

$\text{Si } a < 0 : \quad ax > b \Longleftrightarrow x < \frac{b}{a} \quad \text{(signe inversé !)}$

L'ensemble solution est un intervalle noté avec la notation ensembliste $\left]\text{borne}\,;\,\text{borne}\right[$ ou $\left[-\infty\,;\,a\right]$ , etc.

📝

Inéquation simple

Résoudre $3x - 7 < 5$ .

Étape 1 : Ajouter 7 des deux côtés : $3x < 12$

Étape 2 : Diviser par 3 (positif → inégalité conservée) : $x < 4$

Ensemble solution : $S = \left]-\infty \,;\, 4\right[$

📝

Attention au changement de signe

Résoudre $-2x + 3 \geq 9$ .

Étape 1 : Soustraire 3 : $-2x \geq 6$

Étape 2 : Diviser par $-2$ (négatif → inversion du signe) : $x \leq -3$

Ensemble solution : $S = \left]-\infty \,;\, -3\right]$

L'inégalité $\geq$ est devenue $\leq$ car on a divisé par un négatif.

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Checkpoint

Quel est l'ensemble solution de l'inéquation ?

Signe d'une expression et tableau de signes

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Théorie

Pour résoudre une inéquation du type $(x-a)(x-b) > 0$ ou $\dfrac{f(x)}{g(x)} \leq 0$ , on utilise un tableau de signes.

Méthode :

Trouver les valeurs annulant chaque facteur (les racines)
Les placer sur un axe par ordre croissant
Déterminer le signe de chaque facteur dans chaque intervalle (règle : un facteur $(x-r)$ est négatif pour $x < r$ et positif pour $x > r$ )
Combiner les signes selon la règle des signes pour la multiplication

Règle des signes : $+ \times + = + \qquad - \times - = + \qquad + \times - = - \qquad - \times + = -$

📝

Tableau de signes — produit

Résoudre $(x-1)(x+3) \leq 0$ .

Racines : $x = 1$ et $x = -3$ .

| Intervalle | $x-1$ | $x+3$ | Produit | |---|---|---|---| | $x < -3$ | $-$ | $-$ | $+$ | | $x = -3$ | $-$ | $0$ | $0$ | | $-3 < x < 1$ | $-$ | $+$ | $-$ | | $x = 1$ | $0$ | $+$ | $0$ | | $x > 1$ | $+$ | $+$ | $+$ |

Le produit est $\leq 0$ (négatif ou nul) sur $[-3 \,;\, 1]$ .

Ensemble solution : $S = [-3 \,;\, 1]$

Valeur absolue

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Théorie

La valeur absolue de $x$ , notée $|x|$ , représente la distance de $x$ à 0 sur l'axe des réels.

$|x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases}$

Propriétés : $|x| \geq 0$ , $\;|x| = |-x|$ , $\;|ab| = |a|\cdot|b|$

Résolution des inéquations avec valeur absolue (pour $a > 0$ ) :

$\boxed{|x| < a \;\Longleftrightarrow\; -a < x < a}$

$\boxed{|x| > a \;\Longleftrightarrow\; x < -a \;\text{ ou }\; x > a}$

Plus généralement : $|x - c| < r \Longleftrightarrow c - r < x < c + r$ (intervalle centré en $c$ de rayon $r$ ).

📝

Inéquation avec valeur absolue — type strict

Résoudre $|2x - 3| < 5$ .

Traduction : $-5 < 2x - 3 < 5$

Ajouter 3 partout : $-2 < 2x < 8$

Diviser par 2 : $-1 < x < 4$

Ensemble solution : $S = \left]-1 \,;\, 4\right[$

📝

Inéquation avec valeur absolue — type ≥

Résoudre $|x + 1| \geq 3$ .

Traduction : $x + 1 \leq -3$ ou $x + 1 \geq 3$

Cas 1 : $x \leq -4$

Cas 2 : $x \geq 2$

Ensemble solution : $S = \left]-\infty \,;\, -4\right] \cup \left[2 \,;\, +\infty\right[$

⚠️

Piège — ne pas appliquer la formule si a ≤ 0

Si $a \leq 0$ , la formule $|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a$ n'a aucun sens : $|x| < 0$ est impossible puisque $|x| \geq 0$ toujours.

De même, $|x| > a$ est vrai pour tout $x$ réel quand $a < 0$ .

Toujours vérifier que $a > 0$ avant d'appliquer les formules.

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Checkpoint

Quel est l'ensemble solution de ?

Inéquations avancées

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Théorie

Inéquations avec valeur absolue et expression générale (pour $k > 0$ ) : $|f(x)| \leq k \;\Longleftrightarrow\; -k \leq f(x) \leq k$ $|f(x)| \geq k \;\Longleftrightarrow\; f(x) \leq -k \;\text{ ou }\; f(x) \geq k$

Inéquations de second degré : résoudre $ax^2 + bx + c > 0$ (ou $< 0$ ).

Calculer $\Delta = b^2 - 4ac$ et les racines $x_1 \leq x_2$
Si $a > 0$ : expression $> 0$ à l'extérieur des racines ( $x < x_1$ ou $x > x_2$ )
Si $a > 0$ : expression $< 0$ entre les racines ( $x_1 < x < x_2$ )
Dresser le tableau de signes pour ne pas se tromper

Systèmes d'inéquations : résoudre chaque inéquation séparément, puis prendre l'intersection des ensembles solutions.

📝

Inéquation de second degré — tableau de signes

Résoudre $x^2 - x - 6 > 0$ .

Racines : $\Delta = 1 + 24 = 25$ , $x_1 = \dfrac{1-5}{2} = -2$ , $x_2 = \dfrac{1+5}{2} = 3$ .

Factorisation : $x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)$

| $x$ | $]-\infty;-2[$ | $-2$ | $]-2;3[$ | $3$ | $]3;+\infty[$ | |-----|:-:|:-:|:-:|:-:|:-:| | $x+2$ | $-$ | $0$ | $+$ | $+$ | $+$ | | $x-3$ | $-$ | $-$ | $-$ | $0$ | $+$ | | Produit | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ |

Le produit est $> 0$ sur $\boxed{]-\infty ; -2[\; \cup\; ]3 ; +\infty[}$ .

📝

Système d'inéquations

Résoudre $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x^2 \leq 16 \end{cases}$

Inéquation 1 : $2x > 4 \Rightarrow x > 2$ . Solution : $S_1 = \,]2 ; +\infty[$ .

Inéquation 2 : $x^2 \leq 16 \Rightarrow |x| \leq 4 \Rightarrow -4 \leq x \leq 4$ . Solution : $S_2 = [-4 ; 4]$ .

Intersection : $S = S_1 \cap S_2 = \,]2 ; 4]$ .

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Checkpoint

Quel est l'ensemble solution de $x^2 - 4 < 0$ ?

🧩

Checkpoint

Quel est l'ensemble solution de $|2x + 1| > 5$ ?

⭐

À retenir

Résoudre une inéquation du 1er degré comme une équation, mais inverser le signe quand on multiplie/divise par un négatif
Pour un produit ou quotient : utiliser un tableau de signes avec les racines de chaque facteur
$|x| < a \Longleftrightarrow -a < x < a$ (encadrement symétrique autour de 0)
$|x| > a \Longleftrightarrow x < -a$ ou $x > a$ (union de deux demi-droites)
Second degré ( $a > 0$ ) : expression négative entre les racines, positive à l'extérieur
Système d'inéquations : résoudre séparément, puis intersecter les solutions
Valeur absolue générale : $|f(x)| \leq k \Leftrightarrow -k \leq f(x) \leq k$

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