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Fractions — Les bases

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Pourquoi cette leçon est importante

Cette leçon te servira directement pour 4 modules plus avancés :
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Suites

Analyse — Suites

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Limites

Analyse — Limites

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Systèmes linéaires

Algèbre Linéaire — Systèmes linéaires

🎲

Dénombrement

Probabilités — Dénombrement

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Pourquoi apprendre ça ?

Tu as déjà partagé une pizza ? Alors tu connais déjà les fractions. Une fraction, c'est simplement une façon d'écrire "une partie d'un tout". En maths, tu en auras besoin partout : en physique, en stats, en ML. Autant maîtriser ça maintenant.

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Analogie

Imagine une pizza coupée en 8 parts. Si tu en manges 3, tu as mangé 3/8 de la pizza. Le bas (8) dit en combien on a coupé — c'est le dénominateur. Le haut (3) dit combien tu as pris — c'est le numérateur.

Ce qu'est une fraction

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Théorie

Une fraction ab\frac{a}{b} représente la division de aa par bb, avec b≠0b \neq 0.

  • Numérateur aa : ce qu'on a
  • Dénominateur bb : en combien le tout est divisé
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Lire une fraction

34\frac{3}{4} = trois quarts. 72\frac{7}{2} = sept demis (supérieur à 1, fraction impropre).

Simplifier une fraction

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Théorie

On divise numérateur et dénominateur par leur PGCD :

a÷kb÷k=ab\frac{a \div k}{b \div k} = \frac{a}{b}

📝

Simplification

1218\frac{12}{18} : PGCD(12,18) = 6. Donc 1218=23\frac{12}{18} = \frac{2}{3}.

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Checkpoint

Quelle est la forme simplifiée de ?

Additionner des fractions

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Théorie

Même dénominateur requis :

ab+cd=a⋅d+c⋅bb⋅d\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + c \cdot b}{b \cdot d}

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Addition

13+14=412+312=712\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}

⚠️

Piège classique

Ne jamais additionner dénominateurs séparément ! 13+14≠27\frac{1}{3} + \frac{1}{4} \neq \frac{2}{7}

Multiplier et diviser

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Théorie

Multiplication : ab×cd=a⋅cb⋅d\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}

Division : ab÷cd=a⋅db⋅c\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

📝

Exemples

23×34=612=12\frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

23÷45=2×53×4=1012=56\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2 \times 5}{3 \times 4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}

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Checkpoint

Combien vaut ?

Comparer des fractions

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Théorie

Pour comparer deux fractions, on peut les réduire au même dénominateur, puis comparer les numérateurs.

Une méthode plus rapide : les produits croisés. Pour ab\frac{a}{b} et cd\frac{c}{d} (avec b,d>0b, d > 0) :

ab<cd  ⟺  a⋅d<b⋅c\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \iff a \cdot d < b \cdot c

📝

Comparer par produits croisés

Comparer 34\frac{3}{4} et 57\frac{5}{7} :

Produits croisés : 3×7=213 \times 7 = 21 et 4×5=204 \times 5 = 20.

Comme 21>2021 > 20, on conclut 34>57\frac{3}{4} > \frac{5}{7}.

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Checkpoint

Laquelle est la plus grande : ou ?

Fractions et décimaux

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Théorie

Toute fraction rationnelle ab\frac{a}{b} (avec a,ba, b entiers, b≠0b \neq 0) se convertit en décimal de l'une de ces deux façons :

  • Décimale finie : si bb ne contient que des facteurs 2 et 5 (ex. b=4,5,8,25b = 4, 5, 8, 25…)
  • Décimale périodique : sinon, les décimales se répètent indéfiniment (ex. 13=0,333...\frac{1}{3} = 0{,}333...)

Division euclidienne : on divise le numérateur par le dénominateur pour obtenir le résultat.

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Fractions vers décimaux

  • 14=0,25\frac{1}{4} = 0{,}25 (finie, car 4=224 = 2^2)
  • 13=0,333...\frac{1}{3} = 0{,}333... (périodique, notée 0,3‾0{,}\overline{3})
  • 78=0,875\frac{7}{8} = 0{,}875 (finie, car 8=238 = 2^3)
⚠️

Virgule flottante ≠ fraction exacte

En informatique, 0,1+0,2≠0,30{,}1 + 0{,}2 \neq 0{,}3 ! Les nombres en virgule flottante (IEEE 754) sont des approximations binaires. Utilise des bibliothèques de calcul exact (ex. Decimal en Python, BigDecimal en Java) dès que la précision financière ou scientifique est requise.

Fractions dans les formules — Applications

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Théorie

Les fractions sont omniprésentes en sciences et en programmation :

  • Taux et pourcentages : taux=partietout\text{taux} = \frac{\text{partie}}{\text{tout}}
  • Probabilités : P(A)=cas favorablescas possiblesP(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}
  • Calcul différentiel : la dérivée f′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} est une fraction à la limite
  • Règle de trois : si aa correspond à bb, alors cc correspond à b⋅ca\frac{b \cdot c}{a}

Maîtriser les fractions, c'est manipuler ces formules sans erreur.

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Taux d'intérêt mensuel et règle de trois

Un taux d'intérêt annuel de 6 % donne un taux mensuel de :

taux mensuel=6%12=0,5% par mois\text{taux mensuel} = \frac{6\%}{12} = 0{,}5\% \text{ par mois}

Règle de trois : si 12 mois correspondent à 6 %, alors 1 mois correspond à 612=0,5\frac{6}{12} = 0{,}5.

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Checkpoint

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À retenir

  • Fraction = division a/b
  • Simplifier via le PGCD
  • Additionner : ramener au même dénominateur
  • Multiplier : numérateurs × numérateurs, dénominateurs × dénominateurs
  • Diviser : multiplier par l'inverse
  • Comparer : produits croisés (a×d vs b×c)
  • Décimales : finies si b = 2ⁿ × 5ᵐ, périodiques sinon
  • Virgule flottante ≠ fraction exacte en informatique
  • Les fractions sont à la base des taux, probabilités et dérivées
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