Factorisation

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Pourquoi cette leçon est importante

Cette leçon te servira directement pour 4 modules plus avancés :

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Suites

Analyse — Suites

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Limites

Analyse — Limites

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Systèmes linéaires

Algèbre Linéaire — Systèmes linéaires

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Dénombrement

Probabilités — Dénombrement

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Pourquoi apprendre ça ?

Factoriser une expression, c'est comme décomposer un grand nombre en produit de facteurs : au lieu de calculer sur une somme complexe, on travaille sur un produit — ce qui simplifie les équations, les fractions algébriques et la recherche de racines. En physique, en économie, partout où des équations du second degré apparaissent, la factorisation est la clé.

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Analogie

Factoriser, c'est comme ranger des objets dans des boîtes identiques : si tu as 12 pommes et 8 oranges, tu peux faire 4 groupes de (3 pommes + 2 oranges). Le "4" est le facteur commun. En algèbre, on fait exactement pareil avec des expressions.

Mise en facteur commun

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Théorie

La mise en facteur commun consiste à identifier un facteur qui se retrouve dans chaque terme de l'expression, puis à l'extraire.

Règle fondamentale : $a \cdot b + a \cdot c = a(b + c)$

Ce facteur $a$ peut être un nombre, une variable ou une expression entière.

Étapes :

Identifier le PGCD des coefficients numériques
Identifier le plus petit exposant de chaque variable commune
Extraire ce facteur et diviser chaque terme par lui

Cas particulier : quand le facteur commun est une expression, par exemple $(x+2)$ , on reconnaît ce bloc entier et on l'isole.

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Factorisation simple

Factoriser $6x^2 + 9x$ .

Étape 1 : PGCD de 6 et 9 → $\text{PGCD}(6,9) = 3$ . La variable $x$ est présente avec exposants 2 et 1, le plus petit est 1.

Étape 2 : Facteur commun $= 3x$

Étape 3 : On divise chaque terme : $6x^2 + 9x = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 = 3x(2x + 3)$

Vérification : $3x(2x+3) = 6x^2 + 9x$ ✓

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Facteur commun sous forme d'expression

Factoriser $5(x-1)^2 + 3(x-1)$ .

Observation : Le facteur commun est le bloc $(x-1)$ .

$5(x-1)^2 + 3(x-1) = (x-1)\bigl[5(x-1) + 3\bigr] = (x-1)(5x - 5 + 3) = (x-1)(5x-2)$

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Checkpoint

Quelle est la factorisation de ?

Identités remarquables

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Théorie

Les identités remarquables sont des formules algébriques reconnues immédiatement pour factoriser ou développer sans calcul intermédiaire.

Les trois identités fondamentales :

$\boxed{(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2}$

$\boxed{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}$

$\boxed{(a+b)(a-b) = a^2 - b^2}$

La troisième — différence de deux carrés — est la plus utilisée pour factoriser.

Dans le sens factorisation (de droite à gauche) :

$a^2 - b^2 \;\longrightarrow\; (a-b)(a+b)$
$a^2 + 2ab + b^2 \;\longrightarrow\; (a+b)^2$
$a^2 - 2ab + b^2 \;\longrightarrow\; (a-b)^2$

Méthode : repérer si le terme constant et le terme du milieu "s'emboîtent" dans une de ces formules.

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Différence de deux carrés

Factoriser $9x^2 - 16$ .

Reconnaissance : $9x^2 = (3x)^2$ et $16 = 4^2$ . C'est une différence de deux carrés avec $a = 3x$ et $b = 4$ .

$9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x-4)(3x+4)$

Vérification : $(3x-4)(3x+4) = 9x^2 + 12x - 12x - 16 = 9x^2 - 16$ ✓

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Reconnaître un carré parfait

Factoriser $x^2 + 6x + 9$ .

Méthode : Cherche si c'est un carré parfait. Le terme constant $9 = 3^2$ , le coefficient de $x$ est $6 = 2 \times 3$ . Schéma $(a+b)^2$ avec $a=x$ , $b=3$ .

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$

Vérification : $(x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$ ✓

⚠️

Piège — ne pas oublier le double produit

$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ . Il manque le terme central $2ab$ !

$\textbf{FAUX :} \quad (x+3)^2 \neq x^2 + 9$ $\textbf{CORRECT :} \quad (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9$

De même, $a^2 - b^2$ ne se factorise pas en $(a-b)^2$ mais en $(a-b)(a+b)$ .

Trinôme du second degré

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Théorie

Un trinôme du second degré a la forme $ax^2 + bx + c$ avec $a \neq 0$ .

Méthode par le discriminant :

$\Delta = b^2 - 4ac$

| Signe de $\Delta$ | Racines | Factorisation | |---|---|---| | $\Delta > 0$ | $x_1, x_2$ distincts | $a(x-x_1)(x-x_2)$ | | $\Delta = 0$ | $x_0$ double | $a(x-x_0)^2$ | | $\Delta < 0$ | aucune réelle | pas de factorisation sur $\mathbb{R}$ |

Les racines sont : $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$

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Factorisation d'un trinôme avec deux racines

Factoriser $2x^2 - 5x + 3$ .

Calcul du discriminant : $\Delta = (-5)^2 - 4 \times 2 \times 3 = 25 - 24 = 1$

$\Delta = 1 > 0$ , donc deux racines distinctes : $x_1 = \frac{5 - 1}{4} = 1 \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{4} = \frac{3}{2}$

Factorisation : $2x^2 - 5x + 3 = 2(x - 1)\!\left(x - \frac{3}{2}\right) = (x-1)(2x-3)$

Vérification : $(x-1)(2x-3) = 2x^2 - 3x - 2x + 3 = 2x^2 - 5x + 3$ ✓

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Checkpoint

Quelle est la factorisation de ?

Factorisation de polynômes — méthodes avancées

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Théorie

Méthode de la racine évidente : pour factoriser un polynôme $P(x)$ de degré $\geq 3$ , on cherche d'abord une racine entière $r$ en testant les diviseurs du terme constant. Si $P(r) = 0$ , alors $(x - r)$ est un facteur, et on effectue la division euclidienne.

Identités remarquables à 3 termes — somme et différence de cubes : $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Ces formules permettent de factoriser des expressions cubiques sans passer par le discriminant.

Décomposition en éléments simples (fractions rationnelles) : toute fraction $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$ avec $\deg P < \deg Q$ et $Q$ à racines simples $r_1, \ldots, r_n$ s'écrit : $\frac{P(x)}{(x-r_1)\cdots(x-r_n)} = \frac{A_1}{x-r_1} + \cdots + \frac{A_n}{x-r_n}$

Calcul de $A_i$ : multiplier par $(x - r_i)$ et substituer $x = r_i$ .

Applications :

Intégrales : $\displaystyle\int \frac{dx}{(x-a)(x-b)} = \frac{1}{a-b}\ln\left|\frac{x-a}{x-b}\right| + C$
Limites : simplifier $\dfrac{x^2-1}{x-1} = x+1$ pour $x \neq 1$ , d'où $\lim_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x-1} = 2$

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Factorisation par racine évidente

Factoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ .

Recherche d'une racine parmi les diviseurs de 6 : $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ .

$P(1) = 1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓ → $(x - 1)$ est un facteur.

Division euclidienne de $P(x)$ par $(x-1)$ : $P(x) = (x-1)(x^2 - 5x + 6)$

Factoriser $x^2 - 5x + 6$ : $\Delta = 25 - 24 = 1$ , racines $x = 2$ et $x = 3$ .

Résultat final : $P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$

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Décomposition en éléments simples

Décomposer $\dfrac{3x + 1}{(x-1)(x+2)}$ en éléments simples.

Forme cherchée : $\dfrac{3x+1}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{A}{x-1} + \dfrac{B}{x+2}$

Calcul de $A$ : multiplier par $(x-1)$ et poser $x = 1$ : $A = \frac{3(1)+1}{1+2} = \frac{4}{3}$

Calcul de $B$ : multiplier par $(x+2)$ et poser $x = -2$ : $B = \frac{3(-2)+1}{-2-1} = \frac{-5}{-3} = \frac{5}{3}$

Application — intégrale : $\int \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)}\,dx = \frac{4}{3}\ln|x-1| + \frac{5}{3}\ln|x+2| + C$

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Checkpoint

Laquelle de ces expressions est la factorisation de $x^3 - 8$ ?

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Checkpoint

Dans la décomposition $\frac{1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}$, que vaut $A$ ?

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À retenir

La mise en facteur commun extrait le PGCD de tous les termes : $ab + ac = a(b+c)$
Les trois identités remarquables : $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ et la différence de carrés $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$
La différence de deux carrés $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ est très fréquente — la repérer vite est crucial
Pour un trinôme $ax^2+bx+c$ , calculer $\Delta = b^2-4ac$ : si $\Delta \geq 0$ , factoriser avec les racines
Racine évidente : tester les diviseurs du terme constant pour les polynômes de degré $\geq 3$
Cubes : $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ et $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$
Éléments simples : décomposer une fraction rationnelle pour intégrer ou calculer des limites

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