Équations du 2nd degré

Une équation du 2nd degré est de la forme :

$ax^2 + bx + c = 0 \quad \text{avec } a \neq 0$

Discriminant : $\Delta = b^2 - 4ac$

Solutions selon $\Delta$ :

• Si $\Delta > 0$ : deux solutions $x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$
• Si $\Delta = 0$ : une solution double $x_0 = \dfrac{-b}{2a}$
• Si $\Delta < 0$ : aucune solution réelle

Par complétion du carré, toute équation du 2nd degré se réécrit sous forme canonique :

$ax^2 + bx + c = a(x - h)^2 + k$

où $h = -\dfrac{b}{2a}$ et $k = c - \dfrac{b^2}{4a} = -\dfrac{\Delta}{4a}$

Le sommet de la parabole est le point $S(h,\, k)$.

Résolution directe depuis la forme canonique :

$a(x-h)^2 + k = 0 \implies (x-h)^2 = -\frac{k}{a} \implies x = h \pm \sqrt{-\frac{k}{a}}$

Cette forme est valide seulement si $-k/a \geq 0$, ce qui correspond exactement à $\Delta \geq 0$.

Si $x_1$ et $x_2$ sont les solutions de $ax^2 + bx + c = 0$, alors on peut factoriser :

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Relations de Viète : $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \qquad x_1 \times x_2 = \frac{c}{a}$

Ces relations permettent de vérifier rapidement les solutions trouvées, ou de construire une équation connaissant ses racines.

Trouver une équation depuis ses racines : si on veut $x_1 = p$ et $x_2 = q$, alors : $x^2 - (p+q)x + pq = 0$

En physique, la hauteur $h(t)$ d'un objet lancé verticalement suit :

$h(t) = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2}g t^2$

où $h_0$ est la hauteur initiale (m), $v_0$ la vitesse initiale (m/s) et $g \approx 9{,}8\ \text{m/s}^2$.

Question typique : à quel instant l'objet touche-t-il le sol ? On résout $h(t) = 0$, équation du 2nd degré en $t$.