Équations du 1er degré

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Pourquoi cette leçon est importante

Cette leçon te servira directement pour 4 modules plus avancés :

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Suites

Analyse — Suites

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Limites

Analyse — Limites

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Systèmes linéaires

Algèbre Linéaire — Systèmes linéaires

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Dénombrement

Probabilités — Dénombrement

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Pourquoi apprendre ça ?

Résoudre une équation, c'est trouver la valeur inconnue qui rend une égalité vraie. Tu fais ça intuitivement quand tu te demandes "j'ai 15 euros, il m'en faut 23, combien me manque-t-il ?" — c'est une équation du 1er degré.

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Analogie

Une équation, c'est une balance. Ce que tu fais d'un côté, tu dois le faire de l'autre. Ajouter, soustraire, multiplier, diviser — les deux plateaux restent équilibrés.

Forme générale

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Théorie

Une équation du 1er degré en $x$ est de la forme :

$ax + b = 0 \quad \text{avec } a \neq 0$

Principe : on applique les mêmes opérations des deux côtés pour isoler $x$ .

$ax + b = 0 \implies ax = -b \implies x = \frac{-b}{a}$

📝

Équation simple

Résoudre $3x - 6 = 0$

$3x = 6 \implies x = 2$

Vérification : $3 \times 2 - 6 = 0$ ✓

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Termes des deux côtés

Résoudre $5x + 3 = 2x + 12$

$5x - 2x = 12 - 3 \implies 3x = 9 \implies x = 3$

Vérification : $5(3)+3 = 18 = 2(3)+12$ ✓

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Checkpoint

Solution de ?

Parenthèses et fractions

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Avec parenthèses

Résoudre $2(x + 3) = 3(x - 1)$

$2x + 6 = 3x - 3 \implies 9 = x$

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Avec fractions

Résoudre $\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{3} = 5$

Multiplier par 6 : $3x + 2x = 30 \implies x = 6$

⚠️

Pièges fréquents

Distribuer le signe négatif : $-(x+2) = -x - 2$
Si on obtient $0 = 5$ : pas de solution. Si $0 = 0$ : infinité de solutions.

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Checkpoint

Solution de ?

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Checkpoint

Solution de ?

Équations avec valeur absolue

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Théorie

La valeur absolue $|x|$ représente la distance de $x$ à zéro — toujours positive ou nulle.

Pour résoudre $|ax + b| = c$ (avec $c \geq 0$ ), on distingue deux cas :

$ax + b = c \quad \text{ou} \quad ax + b = -c$

Si $c < 0$ , l'équation n'a aucune solution (une valeur absolue ne peut pas être négative).

📝

Valeur absolue simple

Résoudre $|2x - 4| = 6$

Cas 1 : $2x - 4 = 6 \implies 2x = 10 \implies x = 5$

Cas 2 : $2x - 4 = -6 \implies 2x = -2 \implies x = -1$

Solutions : $x = 5$ ou $x = -1$

Vérification : $|2(5)-4| = |6| = 6$ ✓ et $|2(-1)-4| = |-6| = 6$ ✓

⚠️

Attention aux négatifs

Ne jamais écrire $|x| = -3$ et poser $x = 3$ ou $x = -3$ — c'est faux ! Une valeur absolue égale à un nombre négatif n'a aucune solution. Vérifie toujours que le membre de droite est $\geq 0$ .

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Checkpoint

Combien de solutions a ?

Systèmes d'équations 2×2

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Théorie

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ s'écrit :

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

Méthode de substitution :

Isoler une inconnue dans l'une des deux équations
Substituer dans l'autre équation pour obtenir une équation à une inconnue
Résoudre, puis remonter trouver l'autre inconnue
Vérifier dans les deux équations

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Substitution — cas simple

Résoudre $\begin{cases} x + y = 7 \\ x - y = 3 \end{cases}$

Étape 1 : De la première équation : $x = 7 - y$

Étape 2 : Substituer dans la deuxième : $(7 - y) - y = 3 \implies 7 - 2y = 3 \implies y = 2$

Étape 3 : Remonter : $x = 7 - 2 = 5$

Solution : $(x, y) = (5, 2)$

Vérification : $5 + 2 = 7$ ✓ et $5 - 2 = 3$ ✓

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Substitution — avec coefficients

Résoudre $\begin{cases} 2x + y = 10 \\ x - y = 2 \end{cases}$

Étape 1 : De la deuxième équation (coefficient 1 sur $x$ ) : $x = 2 + y$

Étape 2 : Substituer dans la première : $2(2 + y) + y = 10 \implies 4 + 3y = 10 \implies y = 2$

Étape 3 : Remonter : $x = 2 + 2 = 4$

Solution : $(x, y) = (4, 2)$

Astuce : isoler toujours l'inconnue dont le coefficient vaut 1 pour éviter les fractions.

Applications concrètes

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Théorie

Les équations modélisent des situations réelles. La démarche est toujours :

Définir l'inconnue : nommer clairement ce qu'on cherche
Écrire l'équation : traduire la situation en langage mathématique
Résoudre : appliquer les techniques vues
Interpréter : vérifier que la réponse est cohérente avec le problème

📝

Vitesse — distance — temps

Un train parcourt 360 km à 120 km/h. Un second train fait le même trajet à 90 km/h mais part 1 heure plus tard. Lequel arrive en premier ?

Train 1 : durée $= \dfrac{360}{120} = 3$ h

Train 2 : durée $= \dfrac{360}{90} = 4$ h, mais part 1 h plus tard, arrive donc à $t = 5$ h.

Le train 1 arrive en premier à $t = 3$ h.

Généralisation : si deux mobiles parcourent la même distance $d$ , on résout $v_1 \cdot t = v_2 \cdot (t - \Delta t)$ pour trouver quand ils se rejoignent.

📝

Problème de mélange

On mélange $x$ litres d'une solution à 20 % de sel avec 4 litres d'eau pure pour obtenir une solution à 5 %.

La quantité de sel est conservée : $0{,}20 \cdot x = 0{,}05 \cdot (x + 4)$

$0{,}20x = 0{,}05x + 0{,}20 \implies 0{,}15x = 0{,}20 \implies x = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$ litres

Vérification : sel $= 0{,}20 \times \frac{4}{3} = \frac{4}{15}$ litres, volume total $= \frac{4}{3} + 4 = \frac{16}{3}$ litres, concentration $= \frac{4/15}{16/3} = \frac{1}{20} = 5\%$ ✓

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Partage d'une somme

Alice a le double de l'argent de Bob. Ensemble ils ont 90 €. Combien a chacun ?

Soit $b$ l'argent de Bob, alors Alice a $2b$ .

$b + 2b = 90 \implies 3b = 90 \implies b = 30$ €

Bob : 30 € — Alice : 60 €. Vérification : $30 + 60 = 90$ ✓

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Checkpoint

Un vélo roule à 15 km/h et une voiture à 60 km/h. La voiture part 2 h après le vélo. Après combien d'heures (depuis le départ du vélo) la voiture rattrape-t-elle le vélo ?

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À retenir

Équation 1er degré : $ax + b = 0$ — isoler $x$ en opérant des deux côtés
Parenthèses : développer avant de regrouper
Fractions : multiplier par le PPCM pour tout entier
Valeur absolue : deux cas ( $= c$ et $= -c$ ), impossible si $c < 0$
Système 2×2 : substitution — isoler une inconnue, remplacer, remonter
Applications : définir l'inconnue, écrire l'équation, résoudre, vérifier

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